コーシーの積分公式の誤りとは？
- コーシーの積分公式を使って、f(z)=1/{(z-a)(z-b)}とした ∮f(z) dz を求める過程に違和感を感じるので、誤っているところの指摘をお願いいたします。
- コーシーの積分公式を用いた積分の過程で、式変形の途中で誤りが生じている可能性があります。適切な式変形を行うことで正しい結果を得ることができるかもしれません。
- コーシーの積分公式とは、閉曲線上の特異点を持つ関数の積分を求めるための公式です。しかし、与えられた関数においては誤った結果が得られてしまっているようです。正しい結果を得るためには、どのような手法が必要なのでしょうか。
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コーシーの積分公式について
コーシーの積分公式を使って、f(z)=1/{(z-a)(z-b)}とした ∮f(z) dz を求める過程に違和感を感じるので、誤っているところの指摘をお願いいたします。 f(z)=1/{(z-a)(z-b)}として、 C_ab を極a, bを囲む閉曲線, C_aを極aのみを囲む閉曲線, C_b を極bのみを囲む閉曲線とします。これらの閉曲線の向きはいずれも反時計回りとします。 このとき、極a,bを避けるような周回積分によって(a)式が成り立つと思います。 ∮_C_ab f(z) dz - ∮_C_a f(z) dz - ∮_C_b f(z) dz = 0 …(a) g(z) = 1/(z-a)とすると、 ∮_C_b f(z) = ∮_C_b g(z)/(z-b) dz = 2πi g(b) = 2πi / (b-a) …(b) h(z) = 1/(z-b)とすると、 ∮_C_a f(z) = ∮_C_a h(z)/(z-a) dz = 2πi h(a) = 2πi / (a-b) …(c) よって、 ∮_C_ab f(z) dz - 2πi / (b-a) - 2πi / (a-b) = ∮_C_ab f(z) dz = 0 …(d) となってしまいます。(d)は f(z) の正則性からしてもありえないことだと感じるのですが、どの式変形の途中で誤ってしまったのでしょうか。
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ちょっと不思議に思われたのでしょうが、 ∮_C_ab f(z) dz = 0 で間違いないですよ。 f(z)=1/(a-b)×{1/(z-a) -1/(z-b)}なので、両方の極を囲む閉曲線に沿って積分すると2つの極の寄与が相殺する形をしているのです。
その他の回答 (1)
恐らくモレラの定理を勘違いして認識されているのでは？ モレラの定理は任意の閉曲線でfの積分が0ならばfは正則 であるというものです。 ご質問のケースでは１つの閉曲線について積分が0にな るだけで、任意の閉曲線について0になるわけではありま せん。実際C_aやC_bでは0にならないわけです。
お礼
なるほど、確かにモレラの定理が気にかかっていたのです。 “任意の”曲線について0にならないといけないのですね。 sunflower-sanさんの回答のほうが、具体的な理由として納得できたので、ベストアンサーはsunflower-sanの回答といたしました。ただ、大変勉強になりました！ありがとうございました！
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