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ｙ’－５ｙ＝４ｘ＾３－６ｘ＾２＋１１ｘ－２のような一階線形微分方程式を解く場合どうしてもとてつもない計算量が必要となってしまうのですが何か簡略化する手段はないのでしょうか？

カテゴリーが数学か物理かで悩みましたが 物理の問題の中の微分方程式なので物理と選びました 問題の解答で ｘ"２－ｘ"１=-((m+M)/mM)k(ｘ２－ｘ１-L)　　（”は二階微分） 一般解はA,αを任意定数としてｘ２－ｘ１＝L＋Asin(ωt+α) ω＝=√（(m+M)/mM)k） と書いてあったのですが これは　ｘ２－ｘ１＝ｙ、((m+M)/mM)k＝uとして ｙ”＝-uy+uL 特性方程式より λ＾２＋u=0 λ＝±ui 同時方程式の一般解は ｙ＝C1cos(u)+C2sin(u) まではわかるのですがuLの処理の仕方、また解答のような答えにならないのですがどこが間違っているのでしょうか？ お願いします

電子系の学部に在籍している学生です。 p型半導体、n型半導体においてのポアソン方程式を 習ったのですが、 釈然としないことがあるので、教えて下さい。 最初の時点で、p型なら、（電位の二階微分）＝qNa/εという式 n型なら、（電位の二階微分）=qNd/εという式が有りますよね？ 計算を解いていくと、（電位の一階微分）＝電界 つまり、単純に考えると（qNd/ε）xが単位面積あたりの電気力線の本数である。 ということですよね？ では、qNd/εとは何なのでしょうか。 次元で考えると、クーロン×ドナー密度/εなので C×（1/立方センチメートル）/ε、 やはり密度のようになってしまいそうですが。。 流れで考えると電気力線の密度の増減を示す数字だと思いますが、 やっぱり納得できません。

　あまりにも大雑把な質問なんですが、「初期値問題」「変数分離系」「1・2階線形」の微分方程式の解を元の式に代入して、成り立てば、それが解だとしていいですか？　 やり方によってはｙが何通りもでてくると、試験のとき、どちらが正解なのか確認できればいいので。

2粒子があってｒ１粒子がｒ２粒子から受ける力を考えて 連立2階微分方程式を数値的に解く。 解く方法は「ルンゲ・クッタ・ニストローム法」です。 どうやってｒのベクトルをルンゲクッタの公式を利用して 解いたらいいのかわかりません。 誰か助けてください。

次の2階線形の微分方程式の特殊解が答えと一致しないので分かる方、教えて下さい。 y''-2y'+y=(e^x)/(√(1-x^2)) 同次方程式として y''-2y'+y=0を解き、λ^2-2λ+1=0からλ=1の重根を出し、ロンスキアンを使う。そして定数変化法により、特殊解を求めたいと思っていますが、ならないのでお願いします。 答えは y=(c1+c2x+√(1-x^2)+xarcsinx)e^x になっている。

回答者の皆様、いつもお世話になります。 微分方程式　(x^2+1)y´-xy=０　です。 単純に変数分離して　(x^2+1)y´=xy y´/y=x/(x^2+1) (dy/dx)・(1/y)=x/(x^2+1) ∫1/y dy=∫x/(x^2+1) dx log|y|+C1=log|x^2+1|^(1/2)+C2 (Cは積分定数です) ここからが自信がありません… log|y|+loge^C1=log|x^2+1|^(1/2)+loge^C2 log{|y|C1}=log{|x^2+1|^(1/2)C2} |y|C1=|x^2+1|^(1/2)C2 |y|=｛ |x^2+1|^(1/2)C2 ｝/C1 y=±{ |x^2+1|^(1/2)×(C2/C1) } ∴　y=±{ |x^2+1|^(1/2)C } (任意定数Cにより±を明記する必要がなくなりますよね？) y=C√(x^2+1)と言えるのでしょうか？ お手数をお掛けいたします。 又、別の問題になるのですが、 y´´´－３y´´+3y´-1y=e^(2x)+xという問題ですが、 右辺をxの一次式として考えて、２階微分すれば０なので、 3y´-1y=e^(2x)+xの微分方程式と考えても良いのでしょうか？ それとも、特性方程式を３次式としてカルダノの解法を考えるべきなのでしょうか？ アドバイスをお願い致します。

以下の問題の解き方が理解できません。 途中の計算なども詳しく教えて頂けると幸いです。 (1)　２階線形同次微分方程式の関数と，二つの関数y1とy2および初期条件の対が与えられている．最初に二つの関数y1とy2が微分方程式の解であることを確認せよ．次に，初期条件を満たす特殊解を求めよ． (1) y''-y=0; y1=e^x, y2=e^-x; y(0)=0, y'(0)=5 (2) y''+4y=0; y1=cos2x, y=sin2x; y(0) = 3, y'(0)=8 (3) y''-3y'+2y=0; y1=e^x, y2=e^2x; y(0)=1, y'(0)=0

質量mの物体が速度の2乗に比例する空気の抵抗を受けながら落下する問題を考えよう。 鉛直上向きにy軸をとり、時間をtとすると、速度はdy/dtで表される。重力加速度の大きさをg, 抵抗力を係数をkとすると、運動方程式は次のようになる。 m (d^2y)/(dt^2) = -mg + k(dy/dt)^2 この方程式にはyが含まれていない。 速度を v = dy/dt とおけば、(d^2y)/(dt^2) = dv/dt であるから、運動方程式(2.19)は次のようにvについての1階の微分方程式に帰着される。 dv/dt = -g + k/m v^2　　　　　(2.20) この微分方程式は、次のように変数分離形の1階常微分方程式であり 1/ (v^2 - mg/k) dv/dt = k/m 両辺をtで積分すると 1/{2√(mg/k)} ∫[1/{(v-√(mg/k)} - 1/{(v+√(mg/k)}] dv = k/m ∫dt log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = 2√(kg/m)t + C　　　　　(2.21) ここで、t=0 で v=0 として物体の落下だけを考えることにすると、y軸は鉛直上向きを正の方向としているので t>0 では v=dy/dt<0 dv/dt<0 となる。 したがって、式(2.20)から0<-v<√(mg/k)であることがわかり、式(2.21)からvは次のようになる。 v=dy/dt = -√(mg/k) * [1-e^{-2√(kg/m)t - C}] / [1+e^{-2√(kg/m)t - C}]　　　　　(2.22) ・・・と本に書いてあるんですが、どうやってこの(2.22)を導き出したのかが分かりません。 勘でやってみますと、 log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = 2√(kg/m)t + C　　　　　(2.21) の両辺でeをとって e^[log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}|] = e^{2√(kg/m)t + C} |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = e^{2√(kg/m)t + C} |{v-√(mg/k)}| = e^{2√(kg/m)t + C} * |{v+√(mg/k)}| やっぱり分かりません。教えてください。お願いします。

数学の以下の項目を完全な初学者が学習する場合何時間くらい掛かりますか？単に問題が解けるだけではなく素早く正確に解く事が出来て他の分野で利用できるまでに理解を深めたいと考えています。 ・基本的な四則演算 ・分数計算 ・指数・対数計算 ・三角関数（sin、cos、tanなど） ・複素数計算（直交座標形式、極座標形式） ・ベクトル計算 ・行列計算 ・微分（導関数、偏微分） ・積分（定積分、不定積分） ・微分方程式（1階、2階） ・フーリエ級数展開 ・ラプラス変換 ・複素関数論 ・ベクトル解析 ・テイラー展開 ・マクローリン展開 ・偏微分方程式 ・数値解析の基礎 現在私は成人ですが恥ずかしながら学生時代にあまり勉強をしてこなかったので初学者として学習を開始しなければなりません。 私の学習能力の程度が判らないと思いますが高卒で高校の偏差値は50となります。参考になれば幸いです。 後は上記の項目を学習する上で必要な項目が有れば挙げて下さい。 よろしくお願いします。

（信号処理で）　 線形微分方程式で係数が定数のシステム　について １．それが　線形であること ２．そして、時不変であること これらはどのようにして証明というか、確認できるのでしょうか？ たとえば入力がx(t)で出力がy(t)とすると 一階の線形微分方程式で係数が定数の場合の例: dy(t)/dt + ay(t) = bx(t) このシステムを考えたとき、どのようにして線形　そして時不変であることを確認できるのでしょうか？ 上の式の形のまま確認する方法はあるのでしょうか？　それとも、 先に解いて、y(t) = ～～～　の形にしてから確認するのでしょうか？ （とくに、時不変になるという確認方法が知りたいです。） よろしくおねがいします。

2階の微分方程式で、 例えば、初期条件が、y(0)=0、y(1)=0のような 「globalな」ものだった場合って、どのように数値的にとけばよいのでしょう？ 普通、数値解法って、y(0)=0、y'(1)=0のような 局所的に折れ線をつなげていくじゃないですか・・・？ 質問の場合には、その解法だと恐ろしく面倒ですよね。

こんにちは。 つぎの問題がわかりません。」 次の2階の線形微分方程式を係数P1(x)、P2(x)が連続であるようなｘの区間Iで考える。 d^2/dx^2＋p1(x)*dy/dx＋p2(x)*y=0　１ これについて次の問いに答えろ ・方程式１の２つの階y1(x)y2(x)に対して、 W(x)=y1(x)dy2/dx-y2(x)dy1(x)/dx を定義する。Cをｘによらない定数、x0をIのなかのある点として W(x)＝Cexp[-∫(from x0 to x)p1(t)dt] となることをしめせ。 という問題で dW/dxをp1であらわし-p1Wと書けるところまでいったのですが、 dW/dx=-p1Wの方程式の答えが なんでW(x)のようになるのかがわかりません。（勉強不足・・・） 何度かチャレンジしたのですがわかりませんでした。 どなたかお願いします。

ｍを質量 ｃを減衰係数 ｋをバネ定数 (dx/dt)^2　をＸをｔでの２階微分とします。 今 m(dx1/dt)^2+c{(dx1/dt)-(dx0/dt)}+k(x1-x0)=0 という運動方程式で表される1自由度線形振動系があるとします。 この運動方程式を解くとき、 x0=Xsinωt x1=Ysin(ωt-φ) としたとき、上の二つの式を直接運動方程式に代入して解き、Y/Xを導く場合どうしてもφやsinやcosのせいで綺麗に解くことができません。 こういう場合に必要なテクニックなどあれば教えていただきたいです。 よろしくお願いします

裳華房の電磁気学の演習本（1989年版）の電磁波の章の例題[1]の 方程式の解き方が分かりません。 電信方程式というのを、（多分解き易くするために）近似して、 ∂^2 E/∂z^2 = jωσμE　　（jは虚数。普通iと書いてあるもの） =2jE/δ^2 という2階の微分方程式になっています。 これの解が E = Aexp(-z/δ)exp{j(ωt - z/δ)} らしいのですが、どうやったらこうなるのでしょうか？ 特に、符号の決め方や、tがどうして出てくるのかよく分かりませんので 教えてもらいたいです。

ベジェ曲面x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)において、zをx,yで２階まで偏微分したいと思っています。 ∂z/∂x,∂z/∂y,∂^2z/∂x^2,∂^2z/∂y^2,∂^2/∂x∂yの５つをu,vで表したいです。 zをu,vで偏微分したものについては www.az.cs.is.nagoya-u.ac.jp/class/comp-sys/cg_chap_9_bind.pdf の１９ページあたりをみれば出てきます。 zのx,yによる１階偏微分までは http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86 多変数の合成関数の微分公式・変数変換 の４番目の式を∂z/∂x,∂z/∂yに関する連立方程式とみなせば出せそうですが、 ∂^2z/∂x^2,∂^2z/∂y^2,∂^2/∂x∂yはどのようにしたら出せますでしょうか。

二階常微分方程式の質問です。 y"+y=0 y'(0)=1 y'(π/2)=-1　という問題で詰まりました。 y'をλとおいて　y = C1*e^ix + C2^(-ix)　まで求めて代入するのですがy'(π/2)がうまい形に変換できません。。 e^((π/2)*i) のいい変形方法があるのでしょうか？？？

点電荷が作る電位分布の求め方 お世話になります。 1次元の電位分布についての質問です。 高校の物理で習ったように、1[C]の点電荷（あるいは微小な大きさを持つ電荷）が原点にあるときの電位分布は、無限遠をゼロとして、 φ = (1/(4πε)) * (Q / r) ・・・(1) で表せますよね？ 同じ分布をポアソン方程式（div (grad φ) = -ρ/ε）から求めるにはどうすればよいでしょうか。 1次元の場合ポアソン方程式は単純な2階微分方程式になると思いますので、rで2階積分してみたのですが、原点以外ではρ= 0 のため φ が一次関数になってしまい、(1)のような反比例の関係にはなりそうにありません。 どこか考え方が間違ってるのだと思いますのでご指摘いただけると助かります。 よろしくお願い致します。

水素原子を解く際、 （ｒによる項）＝（θ、φによる項）＝ l ( l+1) 　　　（l：小文字のエル） とおき、l が整数のときはルジャンドル陪多項式に帰着できるので・・・ という議論がありますが、これだけでなく 「 l が整数でないときにこの微分方程式を満たしえない」 ことを示さないと、角量子数が離散的になることの説明にはならないはずです。 ルジャンドル陪多項式の満たす微分方程式において、l が整数でないと階が存在しないことは、どのように証明するのでしょうか？？ 以前シッフの本を読んだとき、 「l(l+1)において、l が整数でないと、θに依存する項を解いたときに、θ=0 で発散してしまう」と書いてあったのですが、行間が埋められませんでした

こちらの二階非線形微分方程式の解法がわからず困っております。 y'' = 2y^3 + 2y　（y(0)= 0, y'(0) = 1） いわゆる変数分離形をしていますが、そのまま計算すると積分が煩雑になりできないのでは・・・と思っています。 どなたかご教授お願いします。