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md^2x/dt^2 = -kx + mg(m、g、kは実数の定数、mgk≠0) はどうやって解くのでしょうか？ 両辺に∫dtをつけても (d/dt)(dx/dt)*dt=d^2x/dt とわけの分からないことになってしまうのですが…

dx/dt=-y+z, dy/dt=-x+y, dz/dt=x+zの一般解の求め方を教えてください。

(d^2x/dt^2)-2(dy/dt)=f(x) (d^2y/dt^2)+2(dx/dt)=g(y) この連立常微分方程式を４次のルンゲクッタ法で解くためにはどうすればいいのでしょうか？

u=e^(ax)cosbx　（a,b:定数、b>0）となる。 u‘‘‘＝uとなるようにaとbを求めよ。　※‘‘‘は三階微分 について答えがa=-1/2 b=√（3）/2となるようですが、どのようにとけばいいののでしょうか。解き方、式をお願いします。

１，１，２，２，３，３、・・・・・・・・n,nの２n個を、２個ずつのn組に分ける方法は何通りありますか。 例えば、n＝３の時は、（１、１）（２、２）（３、３）、、、（１、１）（２、３）（２、３）、、、（１、２）（１、２）（３、３）、、、（１、３）（１、３）（２、２）、、（１、２）（１、３）（２、３） の５通りとなります。 自分は以下のように考えましたが、最後の漸化式が解けませんでした。 まず題意を満たす場合の数をa(n)とし、また１,１,２,２・・・・・n,n,r,sの２（n＋１）個を、２個ずつのn+1組に分ける場合の数をb(n)とします。 a(n+3)について考えると（n≧１）、 （i)(n+3,n+3)と組みにしたとき、残りの分け方はa(n+2)通り。 （ii)(n+3,k)(n+3,k)と組みにしたとき（１≦k≦n+2),残りの分け方はa(n+1)通り。 （iii)(n+3,j)(n+3,k)と組みにしたとき（１≦ｊ＜ｋ≦ｎ+２）、ｊとｋの選び方はｎ+２C２通りで、残りの分け方はb(n)通り。 （i)(ii)(iii)より、a(n+3)=a(n+2)+(n+2)×a(n+1)+ｎ+２C２×b(n),(n≧１）・・・・・・・(1) b(n+1)について考えると(n≧１）、 （i)（r,s)と組みにしたとき、残りの分け方はa(n+1)通り。 （ii)(r,k)と組にしたとき(1≦ｋ≦ｎ+１）、残りの分け方はb(n)通り。 （i)(ii)より、b(n+1)=a(n+1)+(n+1)×b(n),(n≧１）………(2) (1)(2)からa(n)を消去すると ２×b(n+3)－２×（n＋４）×b(n+2)+(n+2)(n+1)b(n)=0,(n≧１）・・・・・・・(3) (1)(2)からb(n)を消去すると ２×a(n+3)－２×（n＋３）×a(n+2)+(n+2)(n+1)a(n)=0,(n≧１）・・・・・・・(4) 上の問題はあるテキストの問題から考えました。そのテキストでは同じ数字を区別してやっていたのでわりとやりやすかったのですが、区別しないとどうなるだろうと考えたのが上の問題です。数学が得意な方よろしくお願いします。

次の微分方程式の解を 式(5.1) = y(x) = Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) のべき級数を用いて求めよ。 　　　　　x^2 * (dy/dx) - y = x^2 解答 べき級数展開から次の式を得る。 　　　　　x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a_[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) = x^2 xの次数ごとに両辺の係数を比較すると、 　　　　　a[0] = 0 　　　　　a[1] = 0 　　　　　a[2] = -1 　　　　　a[n] = (n-1) a[n-1]　　　　　(n>=3) なる関係式を得る。これより、n>=3について 　　　　　a[n] = (n-1) ! * a[2] = -(n-1) !　　　　　←この式を求めたいです となる。したがって、微分方程式の級数解として 　　　　　y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i を得る。 ・・・と本に書いてあります。 　　　　　a[n] = (n-1) ! * a[2] の導き方が分かりません。 自力で 　　　　　x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a_[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) = x^2 が 　　　　　-a[0] - a[1] * x + Σ[i=2,∞] [ { (i+1) * a_[i-1] - a[i] } * x^i ] = x^2 になることは分かりました。それで、 i=0: -a[0] = 0 a[0] = 0 i=1: -a[1]x = 0x a[1] = 0 i=2: (a[1] - a[2])x^2 = 1x^2 (0 - a[2]) = 1 a[2]) = -1 i=3: { (3-1) a[2] - a[3]}x^3 = 0x^3 2a[2] - a[3] = 0 2(-1) - a[3] = 0 -2 - a[3] = 0 - a[3] = 2 a[3] = -2 i=4: { (4-1) a[3] - a[4]}x^4 = 0x^4 3a[3] - a[4] = 0 3(-2) - a[4] = 0 -6 - a[4] = 0 - a[4] = 6 a[4] = -6 i=n: { (n-1) a[n-1] - a[n]}x^n = 0x^n (n-1) a[n-1] - a[n] = 0 - a[n] = - (n-1) a[n-1] a[n] = (n-1) a[n-1] ここまでは出来ましたけど、この式を使ってn>=3の場合を足していったら 　　　　　a[n] = (n-1) ! * a[2] になるんですよね？ （ a[2] = -1 と分かっているのでその次の式はいいとして、） この階乗はどうやって出せばいいんでしょうか？ i=3 と i=4 を見ていると階乗になりそうなのは分かります。 どうか教えてください。お願いします。

偏微分方程式の問題では、よく波動方程式や熱伝導方程式などの物理的意味のある問題が登場しますが、それ以外の偏微分方程式（連立偏微分方程式や３次の偏微分方程式など）はあまり重要ではないのでしょうか。

フィボナッチ数列の閉じ方についての質問なんですが、 Fn=F_(n-1)+F_n-2 として r^n=r^(n-1)+r^(n-2) とおいて r^2=r+1となりこれをとくと 解が二つでて（タイプが面倒くさいのでαβとします） F_n=(α^n-β^n)/√5…(1) となるというのですが、ルート５は初項からきまるんですよね？ あとαβともにr^n=r^(n-1)+r^(n-2)を満たすのはわかるのですが、なぜ(1)式になるのかがいまいちわかりません。 簡単でいいので説明お願いします

一定量の増加、減少を繰り返し、数が収束（安定）する現象の日常例を探しています。 言葉だけだと分かりづらいですが、例えば 　毎年ある森林の10％の木を伐採し、1000本植樹する。 　この作業を繰り返すと●年後に、森林の木の本数が■本に安定する。 といった感じです。 グラフに表すと、http://www.fukuchan.ac/gazou-bbs/img/1305.png URLにある、赤もしくは緑のグラフになる現象です。 今考えているのは鹿の駆除で、 「鹿は毎年個体数の15％ずつ個体数が増加するが、毎年●●頭を駆除し、何年か続けて数を安定させる」 というのを思いついたのですが、excellで計算しても数が安定しません。 他に思いついたのが ・飲食店の継ぎ足しのソース ・湖の水質汚染の浄化 ・動物の繁殖 なのですが、計算がすぐ終わってしまったり、一定量の増加、減少が思いつかなかったりして、数が収束しませんでした。 出来ればexcellのような計算ソフトを使わないと計算が大変な数量のものを探しています。 何か他に良い例があれば教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

16歳のドイツ人少年、ニュートンも解けなかった数学の難問を解く。 あのアイザック・ニュートンも解くことが出来なかった難問を、 このほど16歳のドイツ人少年、Shouryya Ray氏が解いてしまったとのこと。 この「難問」とは、重力の影響と空気抵抗を受けた 投射物の軌道を正確に計算する方法というもの。 http://www.news.com.au/technology/german-teen-shouryya-ray-solves-300-year-old-mathematical-riddle-posed-by-sir-isaac-newton/story-e6frfro0-1226368490157 というニュースを見たのですが、重力の影響と空気抵抗を受けた投射物の軌道は正確にはどのようになるのでしょうか？ どのような座標設定にするのか記事では不明なのですが、写真から判断していただければと思います。

途中計算も含めて教えてください。 以下の振り子の方程式の解はどのように与えられるか。 d2θ/dt2 = -mghθ/l

抵抗Rに生じる電圧Vrを電荷qであらわすとVr＝Ri＝R(dq/dt) またコンデンサの両端に生じる電圧Vcは同様にqを用いて Vc＝１/C∮i dt＝1/C∮(dq/dt) dt=1/C∮ dq=q/C ここからE=Vr+Vcにより E=R(dq/dt)+q/Cになるのですが、ここからqを求めたいのですが 計算のやり方がわかりません。 どなたか、出来るだけ細かく説明していただけませんか。 よろしくお願いします。

力学:半球の振動に関する質問です。 ちなみに、図において r:半球の半径,m:半球の質量,c：半球の底面から重心までの距離,hθ:重心と、床と半球の接点との距離 です。 半球を、曲面を床に接した状態にして揺らした際の固有振動数を求めるという問題に関してです。 解答によると、系のラグランジアンを求めるか、「床と平行かつ床と半球の接点を通る軸」を回転中心として運動方程式を立てるとなっているのですが、後者の解き方に関して、疑問点があります。 いわゆる慣性項が、「床と平行かつ床と半球の接点を通る軸」に関する慣性モーメントIに、図のθの二階微分をかけたものになっているのですが、その理由がわかりません。なぜなのでしょうか？ 感覚的には、図のhθとrの間の角度の二階微分をIにかけるべきのように思ってしまいます。 そもそも慣性モーメントは、「微小要素の質量に、基準となる軸からの距離の二乗を掛けたもの」を足し合わせたものと聞いてます。 そして私の理解では、この慣性モーメントと、基準となる軸からみた角加速度の掛け合わせが、大まかには 質量×軸からの距離×軸からの距離×角加速度 ＝軸からの距離×質量×加速度 ＝軸からの距離×力 となり、結局剛体にかかるモーメントを示しているのだと思っていました。 θは「底面の中心と、床と半球の接点をむすんだ直線」と「重心と底面の中心をむすんだ直線」との角であり、Iの基準軸である「床と平行かつ床と半球の接点を通る軸」からみた重心の動きとは関係がないように見えてしまいます。このため、Iとθの二階微分を掛け合わせるのは意味をなさず、図のhθとrの間の角度の二階微分をIにかけるべきというように私は考えてしまうのですが、なぜそうではないのでしょうか？ とにかく、Iとθの二階微分の掛け合わせが慣性項になる理由を教えてほしいです。 よろしくお願いします。

x''+x=1 x(0)=0 x(π/2)=0 という微分方程式を解く問題なんですが答えの「1-cosT-sinT」にたどり着けません。 x'(0)=αと置いたとき、x(t)=（α+1）sinTの式まで導けたんですが、 x(π/2)=0の式に代入させたらα＝-1になってしまいます…。 どうして答えのような式になるんでしょうか？教えてください。お願いします。

y'=1-(y/x)をときたいのですが、 dy/dx=1-(y/x) dy/y=dx/y -dx/x 両辺を積分して log|y|=x/y-log|x| +C y=e^(x/y) /x xy=e^(x/y) となったのですが、解答には y=x/2 -4/xとなっています。 間違いを指摘してもらえますか？

x,yをtを変数とする関数とする。 x'=a_1x+b_1y y'=a_2x+b_2y を解け。 ただし、a_1,a_2,b_1,b_2は定数。 よろしくお願いします。

yy'+y^2=x^2(sinx)/y　のODEを解け。 という常微分方程式が問題であったのですが、解答の所には略解としか書いておらず、どうやって解けばいいかの方針がわかりません。どのように解けばいいでしょうが。よろしくお願いします。

学校の課題なのですが、自分で調べても途中までしかできなかったので最後の手段として投稿させていただきました。 ドットや小さい文字を見やすくする関係で問題は画像で添付させていただきました。 自分でどこまで考えたかも一緒に載せたのでよろしくお願いします その先でもsinやcosに変換してみたりしましたが、いまいち自信がありません・・・

途中までシュレーディンガー方程式を教科書通りに動かしていたのですがわからなくなってしまいました 式の変形なのでそこだけ抜粋します ih(∂f(t))/∂t=Ef(t) 実際はhはhバーです から f(t)=e^(-iEt/h) の変形がわかりません 偏微分の公式にあるのでしょうか 少し詳しく教えてください よろしくお願いします

d/(dt)=-2は、どのように解けばいいのでしょうか。