シュレーディンガー方程式の変数分離について

質問

途中までシュレーディンガー方程式を教科書通りに動かしていたのですがわからなくなってしまいました

式の変形なのでそこだけ抜粋します

ih(∂f(t))/∂t=Ef(t) 実際はhはhバーです
から
f(t)=e^(-iEt/h)
の変形がわかりません

偏微分の公式にあるのでしょうか
少し詳しく教えてください
よろしくお願いします

回答No.2

gtmrk · ベストアンサー

こんばんは。
これは本来位置と時間に依存する波動関数 ψ(x,t) が、

　(1)　　ψ(x, t) = f(t) g(x)　　（x は一般に３次元ベクトル）

という、時間 t にのみ依存する関数 f(t) と、位置 x にのみ依存する関数 g(x) の
積の形で表せるという仮定があってこそです。
このような仮定の下で Schrodinger方程式 を

　(2)　　ih ∂f(t) / ∂t = E f(t)

という形に分離できたならば、この ∂/∂t はもはや偏微分ではなく、
常微分 d / dt と等価です。すなわち

　(3)　　ih df(t) / dt = E f(t)

という１階の常微分方程式を解けば f(t) が求まるということです。
この先は詳しく書く必要はないかも知れませんが、
とりあえず両辺を f で割ってから両辺を t で積分すれば OK です。
すなわち、

　(4)　　(ih / f) (df / dt) = E
　　　　　　⇔　ih ∫ (1/f) df = E ∫ dt
　　　　　　⇔　ih ln(f) = Et + C
　　　　　　⇔　ln(f) = (Et + C) / ih = -iEt/h + C
　　　　　　⇔　f = C exp(-iEt/h)

となります。
あとは各種条件から係数 C を決めればよいだけです。

回答No.1

morimot703

ちゃんとしたやり方は、わかりませんが、、、

微分したものが、元の関数の定数倍になるのは、
f(ｘ)＝e^(aｘ) しかありませんから、
f(t)を、これと置いて、
微分すると、∂f(t))/∂t＝ａf(t)
したがって、ａ＝E/ｉh＝-iE/h
∴　f(t)=e^(-iEt/h)