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位相空間論って？
promeの回答
- prome
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j_euroさんがおっしゃってるのは、(代数的)位相幾何学Algebraic Topologyで、 位相空間論はGenaral Topologyです。 位相幾何学は位相空間（多様体）の分類を目的にしたもので、 ホモロジー群、ホモトピー群などを分類のための手段に用います。 位相空間論は位相幾何学や解析学を学ぶための知識として必要なものです。 ハイネ・ボレルの被覆定理（コンパクト性）などは解析学にも使いますから。 私も10数年前数学科に入り、位相空間論は鍛えられました。 これがわかってないと他の数学の理解もできないし、 またこの位相空間論が数学科１回生にとって一番とっつきにくい 「曲者」ですが、逆にこれが理解できれば他の代数、解析などは 何のことはないという感じです。 > で、結局「位相空間論」＝「トポロジー」なんですか？ に対する答えは、トポロジーを位相幾何学と解釈すると、 上記の説明の通り少し違います。 1950～60年代、数学の世界ではAlgebraic Topologyが全盛で、 フィールズ賞受賞者といえば、ほとんどがこの分野からでした。 しかし70年代以降、代数幾何学Algebraic Geometryが頭角を現し、 フィールズ賞受賞者はこちらの方が増えました。 日本のフィールズ賞受賞者の3人、小平邦彦、広中平祐、森氏（フルネームを 失念しました）はすべて代数幾何学の分野です。フェルマの最終定理を 解いたワイルズ氏もこの分野です。ちなみに数学を代数、解析、幾何と ３分類した時、代数幾何学は代数の分野です。 話が脱線してきたので、この辺で。
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補足
Ｑ１．位相空間論⊃位相幾何学 ってことですか？ それと、下にも書きました別質問でのoodaikoさんのご回答の中に > もっと一般の位相空間論では、「同値な距離による位相は同値である」ということがいえます。 > つまり距離dとd'が同値なら、距離dで収束する点列はd'でも収束し、逆も言えるということです。 > なお、距離dとd'が同値であると言うのは、ある定数Ｍがあって、常にd≦Md' となると言う意味です。 という記述があるのですが、まず Ｑ２．「位相」ってなんですか？三角関数でθとθ+2nπは位相が同じとか言いますが、関係ありますか？ Ｑ３．「距離dで収束する」ってどう言う事ですか？言葉の意味が分かりません。「点列a_nがbへ収束する」とかなら分かるのですが。 Ｑ４．「dとd'が同値とは常にd≦Md'」とありますが、日本語で「dとd'が同値」と「d'とdが同値」は同じですよね？という事はdとd'を入れ替えても成り立つ訳で、「dとd'が同値とはある定数M,M'があって、つねにd≦Md'かつd'≦M'd」って事になる気がしますがおかしいですか？