武隈慎一 ミクロ経済学でのMRSは間違ってますか?

質問

武隈慎一著のミクロ経済学で勉強してます。
p.29の限界代替率の説明では　第2財の第1財に対する限界代替率をMRS21と定義してます。
それでp.30ではMRS21=U1/U2と式で定義されてます。
しかし、これは2財の限界代替率だから、U2の方が分子ではないんですか？
あまりにも紛らわしくて、奥野さんのミクロ経済学以外多数の本を参考したんですが、
やはり第1財の第２財に対する限界代替率をMRS12と定義し、MRS12=U1/U2で書いてありました。両方は逆数の関係ですので、必ず片方は間違ってますよね。
やっぱり本のミスなんでしょうか？

回答No.3

statecollege

回答１＆２への追記です。

(*)　　　MRS(x1,x2) = -dx2/dx1 = U1/U2

を言葉で何と表現するかという問題がありましたが、この概念は、前に書きましたように、第1財を1単位(微小量）増やした(減らした）とき）、第2財を何単位減らせば（増やせば）、当初の効用水準を維持できるかを示しているので、「第1財の第2財に対する限界代替率」（英語では、marginal rate of substitution of good 1 for good 2)と呼ぶのが正しいでしょうね！それをMRS12と書くか、MRS21と書くかは人によるでしょう。(私は、単にMRSとするか、MRS12と書くのがよいと思いますが。。。）

なお、3財の世界では、第何財の第何財に対するMRSなのかを明示する必要があるので、単にMRSと書くわけにいかないことはもちろんです。MRS12、MRS13、MRS２３と、3つ存在します。（MRS21、MRS31、 MRS32も定義できますが、それらはそれぞれMRS12、MRS13、MRS23の逆数にすぎないことはいうまでもありません）。

回答No.2

statecollege

訂正。

ただし、U1 = U1(x1,x2) = ∂U(x1,x2)/x1、　U2 = U2(x1,x2) =∂U(x1,x2)/∂ｘ２である。
⇒

ただし、U1 = U1(x1,x2) = ∂U(x1,x2)/∂x1、　U2 = U2(x1,x2) =∂U(x1,x2)/∂ｘ２である。

と訂正してください。要するに、U1はx1についての限界効用、数学的にはUの、x1に関する偏微分。U２についても同様。

ついでなので、効用関数Uが

　　　　U =U(x1,x2)

で与えられたとき、限界代替率MRSをどうやって求めるかの復習をしておきましょう。左辺のUは一定値にあたえられたとしましょう。このとき、両辺をｘ１で微分すると

　　　　　0 = ∂U/∂x1 + ∂U/∂ｘ２・dx2/dx1

よって、
　　　　　-dx2/dx1　=　（∂U/∂ｘ１）/（∂U/∂ｘ２）

となる。

回答No.1

statecollege

限界代替率MRSは無差別曲線の傾きを表わし、効用関数

U = U(x1,x2)

が与えられると、これを全微分することで得られることはご承知の通り。両辺を全微分して整理すると

(*)　　　-dx2/dx1 = U1/U2

ただし、U1 = U1(x1,x2) = ∂U(x1,x2)/x1、　U2 = U2(x1,x2) =　∂U(x1,x2)/∂ｘ２である。

(*)の意味は、無差別曲線上の点(x1,x2)からｘ１を1単位（正確には微小量）増やした（減らした）とき、効用を一定に保つ（当初の無差別曲線上にいる）ためには、ｘ２を何単位減らす（増やす）必要があるかを示す値です。たとえば、ある消費の組においてMRS＝２ならば、そこからｘ１を1単増やすとすれば、ｘ２を2単位減らさないと、当初の効用水準は維持できない、ということを意味しています。
(*)の左辺を見るなら、x1-x2平面上において、dx２/ｄｘ１＝無差別曲線の傾き＝ｘ２の変化/ｘ１の変化を表わしているので、これをみれば、MRS21と書いてもよいし、あなたが言っているように右辺のU1/U2に注目すれば、MRS12と書いてもよいわけです。要は、記号をどうあらわすかの問題で、どちらが正しいということはないでしょう！

なお、(*)において負の符号を左辺に移し、ーが付いているのは、無差別曲線の（数学上の）傾きの値は負(上の例だと-2)なので、－を付けて正の値に変換している意味があります。