ケーキを均等に分けるには

質問

高さ５ｃｍ、縦１０ｃｍ、横１０ｃｍの豆腐のような直方体の生クリームケーキを
出来るだけケーキを壊さない方法で、３人で平等に切り分けるにはどう切ればいいですか？
普通のデコレーションケーキを想像してもらっていいですが、トッピングはここでは考えなくていいです。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

なるだけ「きれいに」分けれないか考えてみました。
いずれにしても「3等分」する必要があるので、まずそのための「定規」を作ります。

1) 10cmよりも長い紙を用意し、4等分します。これが定規です。
2) その定規の端と端から 3つ目の折り目のところを合わせ、1つ目と 2つ目の折り目のところへ印をつけます。

ここまでで「3等分」自体はできます。
もうちょっときれいにするのならば。

3) さらに、もう片方向にも 3等分して、外周がそれぞれ 3等分されるようにします。
4) 図のように、正方形の中心から外周が 4/3ずつ切り取られるように切っていきます。
少々形は違いますが、真ん中から切り分けられ、外周部分の長さも均等になります。
（上の 2)までだと、真ん中の人だけ外周が少なくなってしまう）

他にも方法はあるかもしれません。ご参考まで。

お礼

回答ありがとうございます。
最初の方法はクリームの量が公平ではないもののケーキの大きさを知らないままでも、三等分できますね。

正多角形を外周部も均等になるよう三等分する切り方は他にもあると思いますが、これもケーキの大きさを測らずに出来るというのは素晴らしいです。

回答No.4

staratras

No.3です。その後検討したところNo.3の解が、外周部分の長さを3等分する分割で切断する距離の合計が最小になる場合であることが分かりました。

まず、正方形の外周を3等分する3点と正方形の中心を結ぶ線分で分割される3つの図形の面積は常に等しくなります。なぜならば、分割された3つの図形は、正方形の中心と4頂点を結ぶ線分によって２つまたは3つの三角形にさらに分割することができますが、この三角形の底辺の和は正方形の外周の3分の１であり、高さはすべて正方形の各辺から正方形の中心までの距離で共通だからです。これを逆に言うと、正方形の外周を3等分する３点すべてを通る直線で分割する場合は正方形の中心を通らなければ不可能です。

また外周を3等分する3点のうち一つの位置が決まれば、ほかの2点の位置も定まりますので、1点P１が最初に下の図の原点Oにあるとすれば、P２は（10,10/3)に、Ｐ3は（10/3,10)にあります。

ここで秒速１cmでＰ1が原点から反時計回りにAを通ってスタート時にＰ２がいた位置まで移動するとします。40/3秒後にはＰ3がスタート時にＰ1がいた位置に来ますので後はその繰り返しです。

t秒後の3点の位置を求めて、正方形の中心(5,5)を結ぶ3本の線分の長さの和をf(t)とすれば

(1)0≦t≦10/3　のとき　P1(t,0)、P2(10,10/3+t)、P3(10/3-t,10) f(t)=√((t-5)^2+25)+√((t-5/3)^2+25)+√((t+5/3)^2+25)

(2)10/3≦t≦20/3のとき　P1(t,0)、P2(10,10/3+t)、P3(0,40/3-t) f(t)=√((t-5)^2+25)+√((t-5/3)^2+25)+√((t-25/3)^2+25)

(3)20/3≦t≦10のとき　P1(t,0)、P2(50/3-t,10)、P3(0,40/3-t) f(t)=√((t-5)^2+25)+√((t-35/3)^2+25)+√((t-25/3)^2+25)

(4)10≦t≦40/3のとき　P1(10,t-10)、P2(50/3-t,10)、P3(0,40/3-t) f(t)=√((t-15)^2+25)+√((t-35/3)^2+25)+√((t-25/3)^2+25)

このf(t)のグラフを描くと(1)(2)(3)(4)とも同型であることがわかりますので、(1)について最小値を求めます。

tで微分するとf'(t)=(t-5)/√(t-5)^2+25+(t-5/3)/√(t-5/3)^2+25+(t+5/3)/√(t+5/3)^2+25

ここで第２項の分子が0となるt=5/3のとき
f'(5/3)=-10/√((10/3)^2+25)+0+10/√((10/3)^2+25)=0 で、この前後でf'(t)の符号が負から正に変わるので、0≦t≦10/3の範囲では　f(5/3)=5+(10√13)/3≒17.0185…という最小値をとります。

これはNo.3の解に一致します。

お礼

式の計算まではできませんでしたが、考え方としては、

3つある外周上の切断開始点のどれか一つをを外周に沿って移動させた時の切断長の変化のグラフを微分した値が0になった時(傾き=0)、それだけに注目すれば最も正方形の中心へ近い。
ただし、三か所の切断開始点のそれぞれの外周距離間隔は一定でなければならないので、それぞれ位相の異なるグラフとなる。その和が最小となる位置を求めたのですね。

No.1さんの回答も素晴らしいですが、違う視点からのお見事な回答でした。

補足

すみません舌足らずでした。
お礼欄の続きです。

・・・その結果

「1箇所の切断長さが最小になる時に、全部の切断長さの合計も最小となることが確認できた。」ということですね。

回答No.3

staratras

>出来るだけケーキを壊さない方法で、３人で平等に切り分ける

なかなか興味深い問題ですね。（１）体積を3等分する（ケーキの天地の面に垂直にナイフを入れて切るのであれば、真上から見た正方形の面積を3等分することと同じ）ことは大前提だと考えますが、それだけでは不十分でしょう。

(2)出来るだけケーキを壊さない方法で→ナイフで切る距離をできるだけ短くする

(3)平等に切り分ける→一般に生クリームが多い外周部分をできるだけ等しくする、と理解しました。

下の左側の図のように単純に長辺１０cm、短辺10/3cmの合同な長方形3個に切り分けるのは、切る距離の合計が20cmと長い上に、外周部分が50/３cmの2人と、外周部分が20/3cmの1人の格差が大きくて適当ではないと考えます。

その点でNo.1の方の回答は、（3)は完全に3等分され、(2)も切断した距離の合計が5√2+（10/3)√10≒17.６１1で、上記の合同長方形に切断する方法より短い優れた切り分け方だと考えます。

ただ、それだけではおもしろくないので、私はあえて(2)の条件をさらに優先させた切り方を考えました。（これが最小かどうかは確認していませんが…)

下の右側の図のように切れば、切る距離の合計は5+２・(5/3)√１３=5+(10/3)√１３≒17.0185…　で少し短くなります。もちろん体積は3等分され、外周部分の長さは3人とも同じ40/３cmです。

回答No.2

shuu_01

No.1 さんの回答すごいです

正直、感動しました

でも、他の方法もないか、計算しようとして、

正方形を xyグラフ上に１つの頂点が 原点、
２辺が x軸、y軸と重なるように置き
（つまり、各頂点が (0,0)(10,0)(0,10)(10,10)

切った時の中心を (a, b)、x軸と切った直線の
交点を (c, 0）、u軸との交点を（d,0）、
x軸と平行な辺との交点を（e,10） と置き、
３つにカットされたケーキの面積が 100/3、
3つにカットされたケーキの側面の長さが
等しいと連立方程式をおいて、計算しようと
しました（側面にもクリーム、ついてるので、
カットされた断面積の全周というより、
クリームのついてる部の長さですよね）

そうすると、変数の数が５、式が４つの
連立方程式ができ、何通りかの答えが
あるのかもしれませんが、

連立方程式を解くの面倒臭いので断念しました

PS： No.1 さんへのお礼もまだないしｗ

お礼

回答ありがとうございます。
ケーキの大きさは既知ですから、No.1さんとは違う切り方で、計算する方法はありそうですね。
目盛りのついた定規等を使ってもいいです。