部分分数分解について

質問

部分分数分解について

1/(s^2(s+1))を部分分数分解すると、1/（s+1）-1/s+1/s^2になるのですが、どうすれば分解できるのかがわかりません。
A(S+1)+BS^2=1までいったのですが、そのまま展開しても上記の式にはなりません。。。

回答No.2

shuu_01 · ベストアンサー

部分分数分解というのは

1 / ( s^2 ( s + 1 ) )　の場合だと

A/（s + 1） ＋ B / s ＋ C / s^2 の形にしてやる！！

って所から始めます

A/（s + 1） ＋ B / s ＋ C / s^2

＝ ｛（A + B） s^2 ＋ （B ＋ C ）s ＋c｝ / ( s + 1) s^2

ですので、元の式と比較し

A + B ＝ 0
B + C ＝ 0
C ＝ 1

の連立方程式を解くと、A ＝ 1、B ＝ －1、C ＝ 1 となり、

部分分数分解すると

1 / （s + 1） － 1 / s ＋ 1 / s^2

となります

＞　A(S+1)+BS^2=1までいったのですが、

それ、どこから出て来たの？

回答No.7

178-tall

1/(s^2(s+1)) = A/s^2 + B/s + C/(s+1)
の A, C を ANo.4 の手法で求めたあと、
「係数等置」に切りかえて B を算定する手もあり。

参考 URL
　　↓ Partial Fractions - Example 4 (Cover-Up Rule)

「多重極」には何らか余分な手間を要し、扱い慣れた手を使うようです。

参考URL：

http://www.youtube.com/watch?v=swA6FEo4kvI

回答No.6

178-tall

多重極の場合の「係数等置法？」のビデオが 参照 URL にあります。
>Partial Fraction Decomposition - Example 4

解説は英語だが、丁寧に算式を書いており、これのほうが理解しやすいと思うかたもいらっしゃるのでは。

参考URL：

http://www.youtube.com/watch?v=lH9Mw65vAIA

回答No.5

178-tall

言語学的訂正。
<　> …訂正箇所。

　1/(s^2(s+1)) = A/s^2 + B/s + C/(s+1)
とおいた場合、両辺に s^2 をかけ s → 0 として、
　1 = A　　　…(1)
を得る。
ここで、<左辺>から A/s^2 = 1/s^2 を差し引いてしまうと…。
　-s/(s^2(s+1)) = -1/(s(s+1))
となる。

回答No.4

178-tall

1/(s^2(s+1)) = A/s^2 + B/s + C/(s+1)
とおいた場合、両辺に s^2 をかけ s → 0 として、
　1 = A　　　…(1)
を得る。
ここで、両辺から A/s^2 = 1/s^2 を差し引いてしまうと…。
　-s/(s^2(s+1)) = -1/(s(s+1))
となる。
あらためて、
　1/(s(s+1)) = B'/s + C'/(s+1)
とおき、同様の操作にて B' = 1, C' = -1 を得る。
　-1/(s(s+1)) = -1/s + 1/(s+1)　　…(2)

(1), (2) が答案値。

多重極の場合、それから崩していく、この手順が紛れ難そう。

回答No.3

toshiyuki0123

No.2 さんの回答で正解ですね。
ちなみに、

>> A(S+1)+BS^2=1までいったのですが、そのまま展開しても上記の式にはなりません。。。

は、1/(s^2(s + 1)) = A/S^2 + B/(s + 1)
と置いた場合に出てくる式だと思います。

両辺に s^2(s + 1) をかけて、

1 = A(s + 1) + Bs^2
A(s + 1) + Bs^2 = 1 ... コレ

Bs^2 + As + A - 1 =0

各項を比較すると、B = 0, A = 0, A - 1 = 0 ... ???

みたいな感じで解けないことが多いみたいなんで、No.2 さんの解き方をしっかり覚えたほうがいいと思います。

回答No.1

Tacosan

A(S+1)+BS^2=1 ってなに? こんな妙ちくりんな式, どこから出てきたの?