階乗？極限？について

質問

Ｎ！/（Ｎ-ｎ）！が　（Ｎ＞＞ｎ）
～Ｎ＾ｎ
と近似できることが理解できません。

logとってスターリング使っても式が進みません。
詳しく教えていただくとありがたいです。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

スターリングの公式を使って

ln N ! = N ln N - N
ln (N-n) ! = (N-n) ln (N-n) - (N-n) = (N-n) ln N (1-n/N) - (N-n) = (N -n) [ ln N + ln(1-n/N)] - (N-n)
= (N -n) ln N + (N -n) ln(1-n/N) - (N-n) = N ln N -n ln N + (N -n) ln(1-n/N) - N + n

したがって

ln [ N ! / (N-n) ! ] = ln N ! - ln (N-n) ! = n ln N - (N -n) ln(1-n/N) - n

ln (1+x)のテーラー展開 ln(1+x) ～x を使って

ln(1-n/N) ～ - n/N

なので

ln [ N ! / (N-n) ! ] ～ n ln N - (N -n) ln(1-n/N) - n = n ln N - (N -n) (-n/N) - n = n ln N - n^2/N

N ! / (N-n) ! ～ N^n e^{ - n^2/N }

となるので e^{ - n^2/N }～1と近似してかまわない程度まで N >> n であれば

N ! / (N-n) ! ～ N^n