- ベストアンサー
数C 2次曲線(基礎)の質問です。#2
数Cの楕円の問題です。事情により質問できる方がおらず困っています。お手数をおかけしてすみません。宜しくお願い致します。 「楕円 4x^2 + y^2 =4 が、直線 y=-x+k と異なる2点 Q(x1, y1), R(x2, y2) で交わるとき、 (1)定数kの値の範囲を求めよ。 (2)線分QRの中点Pの軌跡を求めよ。」 です。 (1)は判別式を使って -√5<k<√5 と求められたのですが、(2)がわかりません。 答えだけでなく、解き方も載せてくださると幸いです。 お手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。
- juken-sitsumon
- お礼率100% (25/25)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
点Q,Rは楕円 4x^2 + y^2 =4 が、直線 y=-x+k の交点で それはこの連立方程式から導かれる 4x^2+(-x+k)^2=4 を整理して得られる 5x^2-2kx+k^2-4=0 (1) の2根がx座標を与えるということがわかりますか。 つまりこの2次方程式の解がx1,x2です 線分QRの中点P(X,Y)のx座標は X=(x1+x2)/2 であり、(1)の2根の和の半分です。 (1)の2根の和は根と係数の関係により x1+x2=2k/5 従って X=k/5 (2) Yはy=-x+kに代入して Y=-k/5+k=4/5k (3) (2)、(3)よりkを消去して Y=4X (4) つまり点Pは y=4x上にあります。ただし問(1)の制限によって -√5/5<x<√5/5 (5) です。 答えは(4)と(5)を書いておく必要があります。
その他の回答 (2)
- jamf0421
- ベストアンサー率63% (448/702)
No.1さんの回答の通りですが、改めて書いてみます。与えられた式は x^2+y^2/4=1・・・(1) ですから、x=0の時y=±2、y=0の時x=±1で、x軸とは(-1, 0), (1,0)、y軸とは(0, -2), (0, 2)と交わる縦長の楕円です。y=-x+kの線は傾き-1の直線です。よって楕円を挟む二つの接線が動ける限界に対応します。 y=-x+kですからこれを楕円の式に入れて 4(-x+k)^2+y^2=4 5x^2-2kx+k^2-4=0・・・(2) です。異なる2点で交わるのですから、この式の判別式が D=k^2-5(k^2-4)>0 4k^2-20<0 -√5<k<√5・・・(3) が動ける限界とわかります。これから先、(2)を解いて交わる点をきちんとだせば ((k+√(20-4k^2))/5, (4k-√(20-4k^2))/5)及び((k-√(20-4k^2))/5, (4k+√(20-4k^2)/5) となりますので、中点は容易に出せて (k/5, 4k/5) です。よって中点の軌跡はy=4xです。 もう一つの考え方は、中点の軌跡は必ず楕円を挟む接線と楕円の接点を通る筈、という理屈をつかいます。k=√5とk=-√5の時(つまり判別式ゼロの時)、(2)の根はk/5、すなわち x=√5/5 またはx=-√5/5 となります。このそれぞれに対応するy=k-xはそれぞれ y=√5-(√5/5)=4√5/5, y=-√5+(√5/5)=-4√5/5 となります。これで接点が求まったことになります。したがって求める軌跡は (√5/5, 4√5/5), (-√5/5, -4√5/5) を通ります。これからもy=4xが容易に出せます。
お礼
ご回答ありがとうございました。また質問するときがありましたら、宜しくお願い致します。
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
y=-x+k を与えられた楕円の式に代入すると 4x^2+(ーx+k)^2=4 5x^2-2kx+k^2-4=0 これを解くと x=(2k±√(4k^2-20(k^2-4)))/10 これらがx1およびx2なので点Pの座標を(p、q)とすると p=k/5、q=4k/5 これより点Pの軌跡はy=4x となります。
お礼
ご回答ありがとうございました。また質問するときがありましたら、宜しくお願い致します。
関連するQ&A
- 円と直線について
こんにちは。 高2のflankです。 昨日は、自分の回答を書かずに問題だけ書くという、 マナー違反をして申し訳ございませんでした。 昨日質問した問題でまだわからない箇所があるので 再度質問させていただきます。 問.円C:(x-2)^2+y^2=2、直線l:y=kx、(kは実数の定数)について (1).円Cと直線lが異なる2点A,Bと交わるとき、kのとりうる値の範囲を 求めよ。 (2).(1)のとき、線分ABの中点のPが描く軌跡を求めよ。 という問題です。 (1)は解けて、-1<k<1という答えに辿りつきました。 それで、質問したいのは(2)についてなのですが、 答.(k^2+1)x^2-4x+2=0 A(x1,kx1),B(x2,kx2)とすると、 中点は((x1+x2)/2,(kx1+kx2)/2)とってなって、 x=(x1+x2)/2 y=(kx1+kx2)/2 =kx‥‥(1) ここで解と係数の関係より x1+x2=4/(k^2+1) よってx=4/(2{k^2+1})→x(k^2+1)=2 これを(1)に代入 x(y^2/x^2+1)=2 これを計算して(x-1)^2+y^2=1 と、軌跡の式までは求められたのですが、 その軌跡の範囲がどこからどこまでなのかがわかりません。 前回質問したときには(1)に(1)の-1<k<1という結果を適用して 軌跡の範囲が出てくると教えていただいたのですが、 いまいち良くわからなくて・・・。 その範囲の求め方を詳しく教えてください。 返信よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (2)(3)の解き方を教えてください!!
下の問題で、(1)は分かるのですが、(2)(3)の解き方が分かりません。 解き方のヒントを教えてください。お願いします。 kを実数の定数とする。直線kx-3y+2k=0が放物線y=1/2x^2と異なる二点A,Bで交わるとする。 (1)kのとりうる値を求めよ。 (2)kの値が変化するとき、線分ABの中点Pの軌跡を求めよ。 (3)2点A,Bのx座標がともに整数となるようなkの値を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二次曲線の問題です! 明けましておめでとうございます!!!
Pを通って双曲線C:y^2-x^2=1に接する直線が2本あり、これらの直線の傾きの積が一定値K(0<|K|<1)であるとする。このような点Pの軌跡を求めよ。 この問題の最後のほうが良くわかりません! まず動点をP(X,Y)と大文字にして 次は、この点Pを通過する直線を表すので y=m(x-x1)+y1を利用して y=m(x-X)+Yとしました。 そしてこの直線が接する時は、これを題意のy^2-x^2=1に代入しました。 そしたら長い式が得られ(m^2-1)x^2-2m(mX-Y)x+(mX-Y)^2-1=0 この式に対して、今度は”接する”というのを示すので、この式が重解を持てばよいので、判別式b^2-ac=0を利用したら、 (X^2+1)m^2-2XYm+Y^2-1=0 (1)となりました この方程式の解が接線の傾きなので、(mの二次方程式なので)接線が”二本ある条件”は 再度判別式に掛けて、Y^2-X^2<1 (2)が得られました。 (1)の式を解と係数の関係を使って、m1m2=(Y^2-1)/(X^2+1) = K (3) となりました。 続いて、(3)を展開すると、 Y^2-kX^2=k+1(0<|k|<1)となりました。 このあとが良くわかりません!>_<!! 点Pの軌跡は、ここからどうしたらよいですか?? 答えを見たら (ア)0<k<1の時、Pは双曲線 x^2/(√(k+1)/(√k))^2 ーy^2/(√(k+1))^2=-1と成ってるのですけど、どうやって、こんな複雑な式になったのですか?あとなぜ双曲線ってわかったのですか? (イ)-1<k<0のときPは楕円 これはどうして-1<k<0なんですか?絶対値のカッコって |k|の意味するのはkとーkじゃないのですか? そしたら、0<|k|<1 は -k<0<1じゃないのですか? あとどうして(イ)は楕円とわかるのですか? 誰か教えてください!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 軌跡と方程式
『放物線y=x~2と直線y=m(x-1)は異なるP,Qと交わっている。このときの定数mの値の範囲を求め、mの値が変化するときの線分PQの中点Mの軌跡も求めなさい。』 という問題なのですが、放物線y=x~2と直線y=m(x-1)の交点Qを(u,v)、交点Pを(x,y)とし、交点Q(u,v)を放物線y=x~2と直線y=m(x-1)に代入した結果を交点P(x,y)代入してみたのですが、どうも違うようです。 解答によると定数mの値の範囲はm<0,4<mで線分PQの中点Mの軌跡はy=2x~2-2xのx<0,2<xの部分であるようですがここまでのプロセスを教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数II 軌跡(基礎)の質問です。
いつもお世話になりありがとうございます。周りに質問できる人がおらず、皆様のお力添えをお願い致します。 数II軌跡(・領域)の問題です。 「kを定数とする。直線 (2k+1)x + (k+4)y -k+3=0 は、kの値に関係なく定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。」です。 問題の式をkについてまとめるまでしか理解できていません。 答えだけでなく、解き方も載せてくださると幸いです。 お手数をおかけして申し訳ありません。 宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 定数と変数の見分け方
定数と変数の見分け方 放物線C:y=x^2と直線b:y=m(x-1)は異なる2点A、Bで交わっている。 (1)mの値が変化するとき、線分ABの中点の軌跡を求めよ。 教えてほしいところ 僕はmの値が変化するとあるので、mとは変数なのかなあと感じましたが、変数ではなく定数らしいです。 じゃあどう考えて定数とわかったのか友達に聞いたところ、なんとなく雰囲気でわかると言われました。 僕は雰囲気でわかりません。誰か、雰囲気とではなくしっかり説明できる人いませんか?? また、もしmが変数であったら表す軌跡は変わってしますんですか???
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の質問です。解き方を教えて下さい。
kを定数とする。直線(k+1)x+y-4-3k=0をlとおき、円x^+y^=4とおく。 (1) 円Cと直線lが2点で交わるとき、定数kの範囲を求めなさい。 (2) 直線lが円Cによって切りとられて出来る線分の長さが2√2となるようなkの値をもとめよ。 入院中で授業を受けていない部分でしたからよくわからないので教えて下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございました。また質問するときがありましたら、宜しくお願い致します。