軌跡と方程式

質問

『放物線y=x~2と直線y=m(x-1)は異なるP,Qと交わっている。このときの定数mの値の範囲を求め、mの値が変化するときの線分PQの中点Mの軌跡も求めなさい。』

という問題なのですが、放物線y=x~2と直線y=m(x-1)の交点Qを(u,v)、交点Pを(x,y)とし、交点Q(u,v)を放物線y=x~2と直線y=m(x-1)に代入した結果を交点P(x,y)代入してみたのですが、どうも違うようです。

解答によると定数mの値の範囲はm<0,4<mで線分PQの中点Mの軌跡はy=2x~2-2xのx<0,2<xの部分であるようですがここまでのプロセスを教えてください。

回答No.2

take_5

軌跡を求める基本が出来てないようだ。この問題は基本中の基本。

放物線y=x~2と直線y=m(x-1)を連立すると、x＾2-mx＋m＝0‥‥(1)が異なる2点Ｐ、Ｑで交わるから判別式＞0.
つまり、m＞4、or、m＜0　‥‥(2)
(1)の2つの解がＰ、Ｑのx座標を与える。従って、それを各々α、βとすると解と係数の関係から、α＋β＝m、αβ＝m　‥‥(3)
Ｐ、Ｑは放物線y=x~2上にあるから、Ｐ（α、α＾2）、Ｑ（β、β＾2）であるから、Ｍ（Ｘ、Ｙ）とすると、2Ｘ＝α＋β＝m、2Ｙ＝α＾2＋β＾2＝（α＋β）＾2-2αβ＝m＾2-2m＝4Ｘ＾2-4Ｘ‥‥(4)
2Ｘ＝mを(2)に代入すると、Ｘ＞2、Ｘ＜0　‥‥(5).
(4)と(5)を流通座標に戻すと、求める軌跡はy＝2x＾2-2xのx＜0、2＜xの部分。

回答No.1

koko_u_

さっきの問題は解けたんか？

>交点Qを(u,v)、交点Pを(x,y)とし、交点Q(u,v)を放物線y=x~2と
>直線y=m(x-1)に代入した結果を交点P(x,y)代入してみたのですが
闇雲にやってもダメよ。まずは何を求めたいのかはっきりさせましょう。

そして例によって解答を見ても意味はありません。