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円と直線について
こんにちは。 高2のflankです。 昨日は、自分の回答を書かずに問題だけ書くという、 マナー違反をして申し訳ございませんでした。 昨日質問した問題でまだわからない箇所があるので 再度質問させていただきます。 問.円C:(x-2)^2+y^2=2、直線l:y=kx、(kは実数の定数)について (1).円Cと直線lが異なる2点A,Bと交わるとき、kのとりうる値の範囲を 求めよ。 (2).(1)のとき、線分ABの中点のPが描く軌跡を求めよ。 という問題です。 (1)は解けて、-1<k<1という答えに辿りつきました。 それで、質問したいのは(2)についてなのですが、 答.(k^2+1)x^2-4x+2=0 A(x1,kx1),B(x2,kx2)とすると、 中点は((x1+x2)/2,(kx1+kx2)/2)とってなって、 x=(x1+x2)/2 y=(kx1+kx2)/2 =kx‥‥(1) ここで解と係数の関係より x1+x2=4/(k^2+1) よってx=4/(2{k^2+1})→x(k^2+1)=2 これを(1)に代入 x(y^2/x^2+1)=2 これを計算して(x-1)^2+y^2=1 と、軌跡の式までは求められたのですが、 その軌跡の範囲がどこからどこまでなのかがわかりません。 前回質問したときには(1)に(1)の-1<k<1という結果を適用して 軌跡の範囲が出てくると教えていただいたのですが、 いまいち良くわからなくて・・・。 その範囲の求め方を詳しく教えてください。 返信よろしくおねがいします。
- flank
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中点の座標(x,y)と (k^2+1)x^2-4x+2=0の二実根x1,x2との関係は > よってx=4/(2{k^2+1})→x(k^2+1)=2 ですから、kについて解けば k^2=(2/x)-1 この式に2交点条件-1<k<1つまりk^2<1を適用すれば (2/x)-1<1 これを解いて x>1 が出てきます。 yの範囲は (x-1)^2+y^2=1 でx>1でのyの取りうる範囲は -1<y<1 が出てきます。
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- fukuda-h
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問題は「奇跡の限界」ですね 普通は奇跡の定義域xに注目してk条件を利用して、xの範囲を出せばいいのですがこの問題はx(k^2+1)=2となって計算しにくいのが難点です. こんなときは-1<k<1という条件を直接使えるように 思い切ってK=、あるいはK^2=、の式を作ってみましょう。 K=、の式はうまくいかないのでK^2=(2/x)-1 x(k^2+1)=2ですからxは0ではないからxで割れます -1<K<1から、0<k^2<1、これに代入して0<[(2/x)-1]<1・・・(1) ここでx(k^2+1)=2からx>0より (1)の辺々に1を加えてx>0をかけてx<2<2x よって1<x<2 なかなか大変ですね
- kkkk2222
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ーーー 本論の前に SMALL(x、y)とLARGE(X,Y)は、 厳密に区別が必要です。 直線が、2点で交わる条件、 >>-1<k<1 (#0) >>((k^2)+1)(x^2)ー4x+2=0 (#1) (x^2)-[4/((k^2)+1))]x+[2/((k^2)+1))]=0 (#2) >>中点P(X、Y)は((x1+x2)/2、・・・) 2X=(x1+x2) Y=kX (x^2)-(x1+x2)x+[2/((k^2)+1))]=0 (#3) (x^2)-(2X)x+[2/((k^2)+1))]=0 (#4) (#2)、(#4)で [4/((k^2)+1))]=2X [2/((k^2)+1))]=X 2=X((k^2)+1)) 此れを、Y=kXに代入はできません。 kを消去したいのだから、(k=0、k≠0に分けて) (k=0、k≠0)も厳密には説明を要するのですが割愛して、 k=Y/Xを、2=X((k^2)+1))し、さらに変形して、 ((X-1)^2)+(Y^2)=1 此のままでも良いのですが、 <約束により> LARGE(X,Y)を、SMALL(x、y)の表記に直して、 ((x-1)^2)+(y^2)=1 ーーー 本論 軌跡の限界に関して、 (A)質問 (B)重い質問 (A)質問の場合 二つの円の部分だけ描きます。 ○ ○ ○ ●・ ● ◎ ● ○ ◎ ● ○ ◎ 0 1 2 ◎は求める軌跡、●は不要部分。 <・>が軌跡の限界です。 <・>のx座標 1 をだすのであれば、 最初に、 円C:(x-2)^2+y^2=2、直線l:y=kx が、 異なる2点Aで交わる条件、 -1<k<1 より、 k=ー1 と k=1 のとき接するので、 k=ー1 と k=1 を使用して、 ((x-2)^2)+(y^2)=2 と y=1*x または y=(-1)x を連立させて、 (x^2)ー4x+4+(x^2)=2 2(x^2)ー4x+2=0 (x^2)ー2x+1=0 (x-1)^2=0 x=1 (重解)とでます。 これは、((k^2)+1)(x^2)ー4x+2=0 (#1) において、k=ー1、1とおいた、事になります。 === (B)重い質問 ●が何を意味するのか、ならば、 -1<k<1 の条件を、はずしたことになり、 ((k^2)+1)(x^2)ー4x+2=0 (#1) において、xは虚数解となり、 二つの虚数解x1、x2は、 (x1+x2)では<実数となり> 二つの虚数解x1、x2に対応しているのが、●だと思います。
- mirage70
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x(k^2+1)=2よりx=2/(k^2+1)と置いて、 |k|<1より1>k^2>=0ですので、1<x<=2となります。 中点は、(1,1),(2,0),(1,-1)を通る円周上で、(1,1),(1,-1)の点を除く。 グラフを書けば、 円Cは(2,0)を中心とし、半径√2 直線は原点を通りますので、接点、円の中心を通ることを考えると、 xの範囲は自ずと求まりますし、中点はx軸に関して対象となります。
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