- ベストアンサー
数学 軌跡
円C:(x-2)2乗+y2乗=2 直線E:y=gx(gは実数の定数)について (1)円Cと直線Eが異なる2点PQで交わる時、gの取りうる値の範囲を求めよ。 (2) (1)の時、線分PQの中点が描く軌跡を求めよ。 解説お願いします( ; ; )
- nozoka1225
- お礼率30% (8/26)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数1
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
y=gxを円Cの式に代入して (x-2)^2+g^2x^2=2 (g^2+1)x^2-4x+2=0 ・・・(あ) CとEが異なる二点で交わるということは、xの二次方程式(あ)が異なる二つの実数解を 持つということです。よって判別式D>0とおいてgについて解けばOKです。 D=16-8(g^2+1) =8-8g^2>0 g^2<1 よって -1<g<1 点PおよびQのx座標は、二次方程式(あ)を解くことにより求められますが、 線分PQの中点(Rとします)のx座標は(あ)の二つの解の平均になります。(あ)の二つの解を (a±√b)/c とすると、これらの平均はa/cですから、Rのx座標は x=4/(2(g^2+1))=2/(g^2+1) となります。これをgについて解くと x(g^2+1)=2 xg^2=2-x g=±√((2-x)/x) ・・・(い) Rは直線E上の点なので(い)をEの式に代入して y=±x√((2-x)/x) =±√(x(2-x)) y^2=-x^2+2x (x-1)^2+y^2=1 ・・・(う) ここで x(g^2+1)=2 であり -1<g<1 なので、x=2/(g^2+1) なのでxの範囲は1<x<2となりそうですが、x=2、y=0の時も条件は満たされるので 1<x<=2がxの範囲となります。よって求める軌跡は、 (1,0)を中心とする半径1の円周のうち、1<x<=2の部分 ということになります。
その他の回答 (2)
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
#1です。しまった。嘘書いた。 -1<g<1より素直に1<x<=2としていいのだった。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
(1) 円Cは中心(2,0),半径√2の円だから、直線E:gx-y=0が円Cと2点P、Qで交わるための条件は、「円Cの中心(2,0)と直線Eとの距離dが円Cの半径未満であること」であるから d=|g*2-0|/√(g^2+1)<√2 2g/√(g^2+1)<√2 4(g^2)/(g^2+1)<2 2g^2<g^2+1 g^2<1 ∴-1<g<1 ...(A) ← 答え (2) 点P(p,gp),Q(q,gq)は連立方程式の2実解から得られる。 (x-2)^2+y^2=2 ...(B) y=gx ...(C) (B),(C)から (1+g^2)x^2-4x+2=0 ...(D) (1)で求めた-1<g<1の範囲で 判別式D/4=4-2(1+g^2)=2(1-g^2)>0 成り立っているから異なる2実解をもつ。 解と係数の条件から p+q=4/(1+g^2)...(E), pq=2/(1+g^2) ...(F) (-1<g<1) 線分PQの中点Mの座標を(x,y)とすると x=(p+q)/2=2/(1+g^2) ...(G), y=(gp+gq)/2=2g/(1+g^2) ...(H) (G),(H)からgを消去して x^2+y^2=4/(1+g^2)=2x (x-1)^2+y^2=1 ...(I) (A)なので(G)から ∴1<x≦2 ...(J) PQの中点(x,y)の軌跡は(I),(J)より (x-1)^2+y^2=1 (1<x≦2) ←答え
関連するQ&A
- 軌跡の問題なんですが…
軌跡の問題なんですが… 問題文 円C,X^2+Y^2=1と 直線L,y=a(X-2)がある。 CとLは異なる二点で交わる。 このときの二点を結ぶ線分の中点の軌跡を求めたい。 交点を結ぶ線分の中点を P(x,y)とする。 このあとは、写真に問題があります。 よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 軌跡と方程式
『放物線y=x~2と直線y=m(x-1)は異なるP,Qと交わっている。このときの定数mの値の範囲を求め、mの値が変化するときの線分PQの中点Mの軌跡も求めなさい。』 という問題なのですが、放物線y=x~2と直線y=m(x-1)の交点Qを(u,v)、交点Pを(x,y)とし、交点Q(u,v)を放物線y=x~2と直線y=m(x-1)に代入した結果を交点P(x,y)代入してみたのですが、どうも違うようです。 解答によると定数mの値の範囲はm<0,4<mで線分PQの中点Mの軌跡はy=2x~2-2xのx<0,2<xの部分であるようですがここまでのプロセスを教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の軌跡の問題
大学入試問題集の数学の軌跡の問題について質問です。 問題・・・ 座標平面上に2点O(0,0),A(2,4)と円;x^2+y^2=64がある、また、Pをこの円周上の点とし、2点P,Aを通る弦をPQとする。 点Pが円周上を動くとき、弦PQの中点をMとして、動点Mの軌跡の方程式を求めよ。 答え・・・弦PQは点A(2,4)を通るから、 a(x-2)+b(y-4)=0とおけ、 (1) PQの中点Mを通る直線OMは、bx-ay=0 (2)とおける。 (1)、(2)をみたす実数a.b(a^2+b^2≠0)が存在するためのx,yの条件を求める という流れなのですが、(a^2+b^2≠0)というのがどこからでたのかがわかりません。 あと、(1)と(2)の式は、中点Mをa,bとおくと、OMはbx-ay=0 ・・・(2) 中天MはOから直線PQにおろした垂線の足であるので、PQの傾きは-a/b. PQは点A(2,4)をとおるのでy=-a/b.(X-2)+4なのでa(x-2)+b(y-4)=0・・・(1) とおける。というやり方で導いたのですが、違いますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 双曲線と軌跡
2x^2-y^2=1と直線x-2y+t=0との共有点をP.Qとする時、線分PQの中点の軌跡を求めよ この問題解けません誰か教えてください。 まずわたしは、双曲線2x^2-y^2=1を変形して x^2/ (1/2) ーy^2/1 =1 としました。 この問題に関係あるかわからないですけど>_< そしたら焦点が求まるので、 C^2=a^2+b^2 より C=±√5/2 となりました。 あと、漸近線も2x^2-y^2=0として、 y=±√2xが得られました。 これで大体図をノートに書きました。 つぎにx-2y+t=0との共有点を求めないと駄目なので、双曲線の式に代入しました。 そしたら、 7y^2-8yt+2t^2-1=0 という、ちょっと複雑に文字が入った式が得られました。 このあと、どうしたらよいのかわかりません。 線分PQの軌跡はどうやったら求まるのでしょうか?? 宜しくお願いします。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題です
この問題がわかりません(´-ε-`;) 座標平面上の円C:x^2+y^2=9と直線l:y=-2x+3を考える。 tを実数とし、直線l上に点P(t,-2t+3)をとる。 (1)点Q(u,v)が円C上を動くときの線分PQの中点Mの軌跡C'を考える。ただし、もし2点P,Qが一致するならば、その一致する点をMとする。こうして得られるC'は円となる。C'の半径の値を求め、中心の座標をtの式で表せ。 (2)点Pが直線l上を動くとき、(1)で得られたC'の中心の軌跡の方程式を求めよ。 (3)円C'と(1)で得られた円C'が外接するときのtの値を求めよ。 答えは (1)半径3/2、中心(t/2,-2t+3/2) (2)y=-2t+3/2 (3)t=6±6ルート11/5です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます! 軌跡、とてもよく分かりました(*^^*)