数A平面図形の証明問題

質問

【問題】
三角形ABCの各辺の外側に、正三角形PBC,QCA,RABをつくり、BQ,CRの交点をOとする
次の各項が成り立つことを示せ
[1]BQ=CRかつ∠BOC=120°
[2]三角形PBC,三角形QCA、三角形RABの外接円は1点で交わる
[3]AP、BQ,CRは１点で交わる

この[３]の問題の解答についての質問です
【解答】
ちなみに[2]の解答で
「４点A,R,B,Oは同一円周上」・・・(1)
「４点A,Q,C,Oも同一円周上」・・・(2)
「４点B.P,O,Cも同一円周上」・・・(3)とあり、
[3]の解答
↓
上の(1)、(2)、(3)より、∠P,∠Q、∠Rそれぞれの補角として
∠BOC=∠COA＝∠AOB=120°・・・(4)
★いま、AP,CRの交点をO´とすると、同様の考察で
O´は「CR乗で∠CO´A=１２０°を満たす点」
すなわち「直線CRと三角形QACの外接円との交点」
となるから、O´はOと一致する
結局
AP,BQ,CRは１点Oで交わる

この★以降の部分がよくわかりません…
”同様の考察”もどの部分なのか…
もう少しわかりやすく解説していただけませんか
おねがいします（> <）

回答No.3

hrsmmhr · ベストアンサー

角AO'CはAP,CRの交角として(1)から出して
角AOCはBQ,CRの交点Oの性質である(2)から計算して
両者の一致を探ります
(2)が(1)からでていることにはこだわる必要がありません。

お礼

あぁ、なるほど！
やっと分かりました…；

ありがとうございました☆

回答No.2

hrsmmhr

AP,CRが（点O'じゃなくて）点Oで交わる⇒AP,BQ,CRが1点で交わる、なので
O'をAP,CRの交点とすれば
[1]と同様の考察により∠AO'C=120°となるが
一方で(4)から∠AOC=120°だし
OもO'もCR上の点ということから
そのようなO'はO'＝Oでしかありえない

補足

それでは、「同様の考察」とは＃１さんの言うとおりその直前の考え方のことで、その直前の考え方、つまり[2]の考え方は[1]の考え方で導くから、結局は【[1]の考え方】を指す、ということでしょうか？

回答No.1

masssyu

>いま、AP,CRの交点をO´とすると、同様の考察で

というのは、直前に出てきた考えのことを表します。

なので、

(1)、(2)、(3)より、∠P,∠Q、∠Rそれぞれの補角として∠BOC=∠COA＝∠AOB=120°

を表しています。

要するに、作図をしたら、見る向きを変えてみてください。

そうすると、解答の言っている意味がわかると思います。

正三角形ですので、証明ではすべて相似を示しているといっても過言ではありません。

そして、この手の問題は
[1]BQ=CRかつ∠BOC=120°
[2]三角形PBC,三角形QCA、三角形RABの外接円は1点で交わる
が［3］をとくヒントになっていることが多いです。

なので、焦らず考えれば理解できると思います。

補足ですが、解答ではAPとCRを使っていますがAPとBQ、でも同じ結果が出ます。

補足

＞>いま、AP,CRの交点をO´とすると、同様の考察で
＞というのは、直前に出てきた考えのことを表します。

＞正三角形ですので、証明ではすべて相似を示しているといっても過言ではありません。
＞そして、この手の問題は
＞[1]BQ=CRかつ∠BOC=120°
＞[2]三角形PBC,三角形QCA、三角形RABの外接円は1点で交わる
＞が［3］をとくヒントになっていることが多いです。

つまり「直前の考え方」＝[2]のことで、そしてこの[2]は[1]の考え方で解くから、解答は★のような書き方をしている、という理解でいいのでしょうか…？（> <）