平面図形(2)

質問

2円O,O´が点Aで外接そている。円Oの弦BCを延長した直線が、円O´と点Dで接するとき、ADは∠BACの外角を二等分することを証明せよ。
という問題で、補助線を2本引くのですが(点Aの共通接線、Aを通って、BDに平行な直線)どのようなことを意識して、補助線を引けばよいのでしょうか？
僕の場合は、(1)何を言えば証明できるか、を考え。(2)それをどうやって言えばよいか。(3)補助線を引いたりする。　という、感じのことを頭の中でやってるんですけど、もっとほかにすることはないでしょうか？
皆さんが、証明問題を解く際に意識していることを教えてください。

Ps　変な質問になって申しわけありませんでした、解答、解説は結構ですので、よろしくお願いします。

回答No.1

fk3678bn12 · ベストアンサー

概ね質問者さんと同じプロセスを辿りますが、ちょっと補足すると。

(2.5)現在の情報だけでは本当に足りないのか？
（やたらと補助線をひいて思考を分散させない）

(4)求めたいモノを分断するような補助線はひかない
（経験上、求めるモノを分断する補助線を必要とすることは限られますね）

ぐらいです。

確かに証明問題は「解説を見ても、それに辿り着く方法は教えてくれない」問題集ばかりなので、不安になりますね。

回答No.2

eatern27

証明問題(幾何的なものに限らない)では、
＞(1)何を言えば証明できるか、を考え。
＞(2)それをどうやって言えばよいか。
が基本だと思います。

(2)の段階では、
与えられた条件を変形していって、最終的に示すべきものを目指す(答案用紙に書くような順番で考える)
・・・のではなくて、
与えられた条件を変形すると同時に、証明の後ろからも辿っていくのが基本になります。

例えば、この問題では、
ある角度が等しいことを示すのが目標ですが、角度が等しいことを示す方法としては、
円周角の定理・接弦定理
相似な図形(とくに相似な三角形)
平行線の錯角・同位角
などがあるでしょうか。
(あるいは、この問題に限っては、BA:AC=BD:DCを示すのでもよいですね)

で、これらを組み合わせて、証明をする事になるのでしょうが、

ある人は、この問題に平行線が出てこないので、
＞平行線の錯角・同位角
は使えないと判断するかもしれません。
そういう人は、例えば、相似の方向から攻めていこう、と考えて、この三角形とこの三角形が相似である事を示せばよい。相似である事を示すには～。と考えていくかもしれません。

別の人は、平行線がないなら、引けばいい、と考えるかもしれません。こう考えると、
＞Aを通って、BDに平行な直線
を作図してみるのも決して奇抜なアイディアではないでしょう。(私には、この作図からどのように証明を進めるのかわかりませんが)

まぁ、どんな方針でいくにしても、いろいろと試行錯誤する事になるでしょうが、
接弦定理が使いたいから～
錯角が等しくなるように～
などと何らかの目的を持って、作図をしないと、作図の線がやたらと増えてかえって分かりにくくなるので、何となく作図してみた、というのはなるべく避けた方がいいでしょうね。

お礼

お二人ともありがとうございました、とても参考になりました。