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cos(cos(cos(cosθ)))

この問題がさっぱりわからずお手上げです。 どなたか教えてください。ロシアの数学五輪の問題だそうです。 以下の方程式を解け cos(cos(cos(cosθ))) = sin(sin(sin(sinθ)))

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回答No.1

θが実数の範囲なら「解なし」が答えです。 θ実数の範囲とする。 y1=cos(cos(cos(cosθ))) …(1) y2=sin(sin(sin(sinθ))) …(2) とおくと (1),(2)とも周期2πの関数なので  -π≦θ≦π …(3) の範囲で考えれば十分である。 y1>y2 を示せは(1)と(2)が交わらないので元の方程式を満たす実数θが存在しないと言えます。  -π≦θ≦0では y1>0、y2≦0となるのでy1>y2  0≦θ≦π/4,3π/4≦θ≦πでは y1>0.6>y2なので y1>y2  π/4<θ<3π/4では y1>0.7>y2となるので y1>y2 (なぜなるかはご自分で考えて見てください。グラフを描けば一目瞭然ですが。) したがって、y1>y2 実数解が存在しないので、全て虚数解となります。 虚数解については参考URLをご覧下さい。 「http://www.wolframalpha.com/input/?_=1315192468876&fp=1&i=solve%28cos%28cos%28cos%28cos%28x%29%29%29%29%3dsin%28sin%28sin%28sin%28x%29%29%29%29%2cx%29&incTime=true

参考URL:
http://www.wolframalpha.com/
bougainvillea
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 y1,y2の値を数値的に出して、y1-y2>0を示して、実数の範囲では解無しが正解のようですね。 sinθ=a/cとして辺に戻したり、tanθにしたり、arcsinθにしたり、指数表示やテイラー展開、 両辺微分(合成関数の微分)なども試したのですが どれも上手くゆきませんでした。

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