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cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+・・・
cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+・・・+cos(nx)=(sin((n+(1/2))x)-sin(x/2))/(2sin(x/2)) となるらしいのですが、これの証明がどうしてもできません。 数学的帰納法や漸化式を考慮して、とりあえずn=1,2,3,・・・で様子を 見てみようとしたのですが、 cos(4x)、４倍角辺りからゴチャゴチャしてきました。 規則も特に見つかりません。 cosをsinに直さなければならなく、その変え方なども複数あり、うまく 整理できません。 どなたか助力のほど、ヨロシクお願いしますm(_ _)m
- xcdfnmtg
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右辺見ると全体を2sin(x/2)で割ってるので、とりあえず左辺にsin(x/2)/sin(x/2)をかけてみます。 sin(x/2){cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+・・・+cos(nx)}/sin(x/2) この式の分子は、 cos(x)sin(x/2)+cos(2x)sin(x/2)+…+cos(nx)sin(x/2) なのでこれをさらに加法定理の応用（名前忘れた）で展開して行くと、展開された項がどんどん消えて与式の右辺が得られると思います。 ちなみに加法定理は、 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ なので、使うのは、 cosαsinβ = {sin（α＋β）- sin（α－β）} / 2
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- YHU00444
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実感したと思いますが、「倍角の公式」って面倒でしょう？ http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm#5 実際、cos(nθ)をcosθについて解いた式というのをチェビシェフ多項式というのですが、これは↓でも解説されているとおり非常にやっかいな式になりますから、こちらで計算したらそれはもう大変なことになるわけです。 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/tschebyscheff.htm ですので、この手の計算では次のオイラーの公式を使いましょう。 exp(iθ)=cosθ+isinθ ∴cosθ={exp(iθ)+exp(-iθ)}/2 これを使うと、ド・モアブルの定理によりcos(nθ)={exp(inθ)+exp(-inθ)}/2ですから、あとは単なる等比級数の計算です。 ※計算して様子を見るのは、「ダメっぽい」のを確認するためでもあります。
お礼
オイラーの公式とド・モアブルの定理を使って、単なる等比級数の計算になったのですが、整理するとまたcosになってしまい、sinの形にできませんでした。 計算ミスかなと思いもう１度やってみたのですが、ダメでした(><) でも、他の方法でなんとか解けました！ アイディアありがとうございましたm(_ _)m 解き方って、色々あるんですね(^^;)
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