cos（x/2）＊cos（x/2^2）＊・・・・・cos（x/2^n）

質問

実数ｘ及び自然数ｎに対して
a_n＝cos（x/2）＊cos（x/2^2）＊・・・・・cos（x/2^n）
とする。
(1)2^n＊a_n＊sin(x/2^n)の値はｎと無関係に一定であることを証明せよ。
(2)log｜a_n｜をｘで微分することにより、
Σ(n=2～∞)1/2^n　＊tan(π/2^n）＝1/π
であることを証明せよ

この問題に取り組んでいます。
(1)で2^n＊a_n＊sin(x/2^n)の計算を行っていて、いろいろな三角関数の公式を利用してみたのですが全然うまくいきません。「ｎと無関係」ということはｎが消えればいいということだと思うのですが・・・。
(2)はloga_nを微分したところ
-1/2 tan(x/2) - 1/2^2 tan(x/2^2) -・・・となったのですがここから証明すべき式に変形するにはどうしたらいいのでしょうか？
回答いただければありがたいです。よろしくお願いします

回答No.3

F_P_E · ベストアンサー

はじめまして。

（１）は倍角の公式（sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)）を使うとおもしろいようにcos(x/2^n)が消えていきますよ。

回答No.2

rabbit_cat

すいません
(2)は式がまちがっていました．（わかるとは思いますが）

lim(n→∞)[ log( 2^n＊a_n＊sin(x/2^n)) ]
=lim(n→∞)[ log(a_n) ] + lim(n→∞)[ log(2^n*sin(x/2^n)) ]
の両辺をxで微分してx=πを代入ですね．

回答No.1

rabbit_cat

(1)後ろから積和の公式を繰り返し使っていきます．
(2)当然(1)を使います．
Σ(n=2～∞)[ log( 2^n＊a_n＊sin(x/2^n)) ]
=Σ(n=2～∞)[ log(a_n) ] + Σ(n=2～∞)[ log(2^n*sin(x/2^n)) ]
の両辺を微分してx=πを代入．