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(1)aを1より大きい実数とする。0以上の任意の実数xに対して、次の不
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- aquatarku5
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(1) b=log(a)とおくと、a>1よりb>0。 a=exp(b)より、a^x=exp(bx) (第2式)=log(1+exp(bx)) (第3式)=log2+bx/2+(bx)^2/8 f(x)=(第3式)-(第2式) とおくと、 f'(x)=b/2+b^2x/4-bexp(bx)/(1+exp(bx)) =b{1/(1+exp(bx))+bx/4-1/2} f''(x)=b{-bexp(bx)/(1+exp(bx))^2+b/4} =b^2{1/4-exp(bx)/(1+exp(bx))^2} exp(bx)=sとおくと、s>=1で、 {}内=1/4-s/(1+s)^2=(s-1)^2/(s+1)^2/4>=0 ∴x>0において、f''(x)>=0 f'(0)=0 なので、 ∴x>0において、f'(x)>=0 f(0)=0 なので ∴x>0において、f(x)>=0 即ち、(第2式)<=(第3式)
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