なぜ1/cos(x)になるのか？

質問

数学得意な方に質問です

http://okwave.jp/qa/q9100176.html
↑の質問に
>したがって
>I=∫ {1/cos(x)} sin(x)dx
と書かれているのですが、なぜ1/cos(x)になるのでしょうか？

f(x)=tan(x)を微分してf´(x)=1/(cos(x))^2の式を代入して1/cos(x)になったのでしょうか？

ご教授願います。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

結論から言ってしまうと「そう変形すると積分しやすくなるから」です。

・「tan(x) の不定積分（微分すると tan(x) になる関数）が分からない」
・「sin(x) を微分すると cos(x) に、cos(x) を微分すると -sin(x) になることは分かっている」
・「tan(x) = sin(x) / cos(x) と変形すれば求められるのではないか？と推測」
・「sin(x) , cos(x) のどちらかを z と置き換えてみるとうまくいくのでは？」
・「cos(x) = z と置き換えれば、-sin(x) dx = dz となるので変数変換（置換積分）によって ∫(-1/z)dz = log |z| + C = log |cosx| +C となる」

積分やシグマ記号の計算にはしょっちゅう「突拍子もない式変形」が出てきますが、ある程度は「そうすればうまくいく」ということにとどめておいてまずは計算に慣れることを優先するとよいかと思います。

回答No.1

jcpmutura

tan(x)
=sin(x)/cos(x)
↓sin(x)=sin(x)*1だから
=sin(x)*1/cos(x)
↓結合則から
=sin(x){1/cos(x)}
↓交換則から
={1/cos(x)}sin(x)

tan(x)=sin(x)/cos(x)={1/cos(x)}sin(x)
↓
∫tan(x)dx=∫{sin(x)/cos(x)}dx=∫{1/cos(x)}sin(x)dx