合成関数の微分がらみの積分のについて

質問

合成関数以外にもe出ない指数などに当てはまる事です。たとえば、
∫(a^x)dx=1/loga*a^xとなります(積分定数は省略)し、∫(sin(nπ))dx=-1/n*cosのようになりますよね。これはcosを微分してみたり、指数を微分してみれば分かります。

合成関数がらみの積分は個人的なニュアンスですが「～分の1のような分数をかける」的なものがあります。

いちいち微分するのも面倒だし、ニュアンスでやっているのも10%ぐらい間違っているかもという不安があるので(不慣れが原因かもしれませんが)、どなたかこの考え方を「公式化」してください。

よろしくお願いします。

回答No.4

mazimekko3 · ベストアンサー

積分を簡略にする公式なんてほとんどありません。
∫f(x)dx=F(x)ならば∫f(ax+b)dx=F(ax+b)/a
あらゆる積分で「必ず使える」公式はこれだけ。
（要するに一般公式です）

置換積分、部分積分は結果的に簡略化できるだけで発想が必要です。
変換そのものは正しくても解が出せない変換はたくさんあります。
このことを含めて前式は「必ず使える」公式です。

> それをいちいちやるのが面倒なので何かないかということです。
前式なら証明せずに使えますが。

回答No.3

y_akkie

a^x = (e^loga)^x = e^(loga)xになる事により、
∫e^(loga)xdx = e^((loga)x)/(loga) + C = a^x/loga + C
になります。
積分する前に、上記のように式を変形すれば合成関数の積分と同じに考え方になります。なぜ、上記のような式変形ができるのかは、ご自分で検証して見てください。指数関数・対数関数を理解していれば、何の問題もなく理解できます。

補足

No.2様、すみませんミスです。

NO1,NO2様、その理由はわかっています。それをいちいちやるのが面倒なので何かないかということです。∫(sin(nx))dx=-1/n*cos(nx)とcosの積分については書いてありましたが、これをさらに一般化できないのでしょうか。やはり無理でしょうか。合成関数、指数関数などすべてに通用するものは。

回答No.2

mazimekko3

補足ですが
> ∫(sin(nπ))dx=-1/n*cos
意味不明です。
∫(sin(nx))dx=-1/n*cos(nx)
ですね？

回答No.1

mazimekko3

∫f(x)dx=F(x)
とします。
∫f(ax+b)dx
を積分するときax+bをtとして置換積分してください。
ax+b=t→adx=dt⇔dx=dt/a
よって
∫f(ax+b)dx=(1/a)*∫f(t)dt
=F(t)/a=F(ax+b)/a
だから「～分の1のような分数をかける」的なものが出てきます。
対数と指数の積分は根本的に違うのでニュアンスだけでやると間違えます。