合成関数について

質問

こんばんは！ちょっと気になったのですが、
　"f'(x)"が関数f(x)の導関数,"C"が積分定数を表すとき、
　合成関数の微分法　[{f(x)}^n]' = nf'(x){f(x)}^n-1
が成り立つという事は、この関数の不定積分は、
　∫{f(x)}^n dx = [{1/(n+1)f'(x)}{f(x)}^n+1]+C としてもかまわないのでしょうか。
　f(x)=ax+b のとき、
　∫(ax+b)^n dx = [{1/(n+1)a}(ax+b)^n+1]+C が成り立つので、関数全体としてはどうかなぁと思ったのですが・・・
　よろしくお願いします。

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

>　"f'(x)"が関数f(x)の導関数,"C"が積分定数を表すとき、
>　合成関数の微分法　[{f(x)}^n]' = nf'(x){f(x)}^n-1 が成り立つという事は、この関数の不定積分は、
>　∫{f(x)}^n dx = [{1/(n+1)f'(x)}{f(x)}^n+1]+C としてもかまわないのでしょうか。

かまいます。
[{1/(n+1)f'(x)}{f(x)}^n+1] を微分してみても、{f(x)}^n にはならないようですから。

回答No.1

koko_u_

>合成関数の微分法　[{f(x)}^n]' = nf'(x){f(x)}^(n-1)

この両辺を積分すると(積分定数省略)

f(x)^n = n ∫ f'(x) {f(x)}^(n-1) dx

f(x) = ax + b の時は f'(x) = a が定数のため、

f(x)^n / f'(x) = n ∫ {f(x)}^(n-1) dx

とできますが、もちろん一般には不可能です。