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述語論理の学習方針について

「論理学をつくる」（名古屋大学出版 外山田和久）で 論理学を勉強し始めた者です。 順調に読み進めてきたのですが、述語論理の意味論 （セマンティクス）へ足を踏み入れた途端、訳が解らなく なって困っております。 「モデル」、「変種」、「アサインメント」など、急に概念の レベルが高く感じられるような用語が多用されており、 そもそも何を目的としているのかが理解できなくなって おります。 意味論ということなので、論理式の真偽について議論 する分野だと思うのですが、抽象語が多く足踏みをして いる状態です。 考え方のコツがあれば、教えて下さい。 よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.1

どなたからも回答が寄せられていないようなので。。。 専門家ではありませんが、その昔、いわゆる「人工知能言語」とみなされていたLISP（リスト処理系）やProlog（一階の述語論理を扱う処理系）を使ったことのある立場からの発言になります。 ※逆に分かりにくくなるかも知れませんので、ご注意願います。 １．論理式は「真・偽」の２値に対する論理演算であり、ビット（２進数一桁、ゼロかイチか）を最小単位とする現行のコンピュータ（計算機）の論理的基礎にもなっている。 ２．一定の長さ（たとえば８ビット）の０と１の羅列で作られた符号そのものには、意味という概念は想定しにくいが、たとえば、８ビットの符号にアルファベットやカナなどを対応させるとき、ASCIIコード表やANKコード表といった「意味」のある符号列として扱うことができる。ただし、おなじ値をとる８ビット符号列であっても、対応させる表を変えることで、様々な文字に読み替えることができてしまう。 ３．また、一定のコード表（たとえばASCII７ビット）のみに基づいて、自然言語としての英単語を生成し、それら単語の一連の繋がり（ネットワーク構造）において、（人間にとって）共通の何らかの「意味」を見いだすことができるなら、その「繋がり」そのものに「意味」というラベル（このラベルに書く文字列も、一定のコード表に基づいた文字列になる）を貼り付けることができる。単語（ないし構造）同士を結びつけるネットワークの線に意味のあるラベルを貼り付けたものが、セマンティック（意味）ネットワークと呼ばれる構造になる。 ４．したがって、「意味」という概念は、論理式そのものには含まれず、解釈する主体によって認識されることで、はじめて「本来の意味」となる。逆に言えば、「意味」そのものは、論理式のみで表現されるものではない。 述語論理は、あるコードの塊とあるコードの塊とを結びつけたものを述語として１つのコードの塊とする（http://okwave.jp/qa/q5462523.html）のですが、その結びつけに術語の名前（ラベル）を用い、そこに「意味」（解釈）を人間側が割り当てるのです。 真偽表に基づく術語の論理演算のレベルでは、「意味」に無関係に、術語の記号的側面（同一の記号か否か）にて計算することができます。したがって、一階の述語論理に基づいた推論をPrologといった計算機言語にて処理することができるわけです。 抽象語が多数でてくる理由は、おそらく、論理演算レベルではない人間側の解釈・意図であるところの「意味」という概念を扱うからこそだと思われます。 参考になるかどうか分かりませんが、書かないよりマシだと思って記述しました。

pacioli
質問者

お礼

ご丁寧にありがとうございます。 論理学を専門とされている方からのご意見よりも むしろ異なる側面からご説明いただいた方が、 解りやすいと実感しました。・・・前者については ご回答は得れませんでしたけど。 とても理解しやすかったです。 本当にありがとうございました。

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    　以前、言葉尻の異なる同じような内容の質問をしております。ご容赦ください。 　 　スコーレムの定理によりべき集合公理をもつ公理系にも可算モデルが存在する 　無限体k上のベクトル空間の次元という概念は論理式では表現できない 　ペアノ算術において自然数の非標準モデルが存在する 　といったものから 　モデル側の性質をすべて形式体系で書くことはできないということが結論されているのを見るのですが、自分としてはそのような形式体系で書くことができない性質があるということ、その性質について考えるとことが、なぜ記号を対象とした数学という分野でできるのかということが不思議なのです。 　つまり（あくまで建前上ではですが）、イメージや心象を閉め出して形式的な文字列の変形、生成で議論できるはずの数学においては形式体系、公理系のモデルも結局何らかの形式的な文字列の変形、生成で定義される以外無いはずであって（モデルを決めるというのは形式体系側の記号や述語に、新しい記号や述語を対応させた新しい形式体系を実装として定めるということだと考えています） 例えば 実数の公理系の非可算のモデルの更なる可算モデルを考えると、そもそも非可算モデルとはなんだったのだろうか（何をもって非可算といっていたのだろうか　もちろん元の体系内で、ある集合が可算無限の集合と１：１対応のつけられないということが証明できるということをもってなのでしょうが、しかしそれも体系の外に出てみると可算モデルになっていることがあるということならどこまで行っても本当に非可算かどうかを確かめることはできないのではないだろうか　つまり何をもって非可算となすという基準が作れないように見え、それならば非可算というもの自体がどういうものかわからないのではないか　なら最初の非可算モデルとはいったい何だったんだろうといったように） ベクトルの次元という概念も表現できる視点があって初めて、ある論理上では表現できないということが分かるのであってその表現できる視点というのも論理式の集合で書かれるしかないのではないか　ならば次元という概念も論理式の集合で表現できることになるのでは 標準的な(N,0,1,＋,・,＜)のＮも数学で考えるために論理式で定義されるものなら標準モデルだけを表す公理系があるのではないだろうか　もしないならどうやって数学の議論の台に乗せるのだろうか などといった、おそらく擬似問題に悩んでしまうのです。 　認識といってしまうといきなり怪しい話になってしまい恐縮ですが、「モデル側の性質をすべて形式体系で書くことはできない」ということは一見して数学の論理は、人間の心象、意味内容を全て認識することができないと受け取ってしまいそうになりますが、形式とモデルの関係はそのようなことをいっているのではなく、数学上の話である以上、体系間の関係のことをいっていると思うのですが正確にはどういうことを表しているのかわからないのです。 おおざっぱにいうと論理式で表せない性質があるということをいうためにはその性質を表すことが必要であり、数学においてはそれも論理式で書くことになると思うので、結局どういうことをしているのか混乱しているのです。 　それとも最初に書いたようなことは人間側の推論と論理式での推論の関係（これは本当にイメージ心象と論理式の関係であって、想像上の集合、モデルと形式体系は１：１には対応しない）を、体系同士の関係で表した、まねさせたことから出てきた成果なので たとえば非可算かどうかを確認する絶対的基準なものがどこにあるかなどと言うことは意味をなさないのでしょうか。つまり実装（モデル）側で、ある論理式（可算性、非可算性に相当する）を証明できるものを可算モデル、非可算モデルという名前を付けているだけであって人間の使う非可算という意味とは（建前上は）関係がないということでしょうか。 　もちろん例えば、自然数といわれればその意味するところはわかりますし、その自然数と同型でないモデルというのも色々なところで図などをつかって解説されている限り同型でないということや、どういうものかということは分かります、ただそれは明らかにイメージに頼ったものであって、厳密な意味での数学ではどうするのだろう（というか論旨式で表せないものを表すとは何だろう）と考え質問いたしました。 メタレベルと対象レベルを区別できてないが故の疑問だと感じているのですが、モデル（実装）にたいしても、その実装は？さらにその実装は？といっていくと結局非可算かどうかを区別できる視点などないのではないかということにならないのでしょうか？ かなり初歩的な勘違いをしていると思いますが、この方面に明るい方、過去このような疑問を持たれた方、お時間ありましたら解答、解説お願いします

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