論理学での同一律の使い方について
- 論理学における同一律について、具体例を交えて説明します。
- 同一律を使った証明の手順や意義についても解説します。
- 同一律を理解することで、論理学の基礎を深めることができます。
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【論理学】公理系LPの同一律について
A⊃A [同一律]を他の定理を証明するときに、どのように使うかが理解できません。 具体例として、矛盾律 ￢(A∧￢A)の証明にて、 【証明】 （1）A∧￢A [1]背理法の仮定 （2）A∧￢A [1](1)と同一律 （3）￢(A∧￢A) (1)(2)と背理法 ・・・出典「論理学」（東京大学出版）野矢茂樹著(17刷 P.216)より ここで、(2)と(3)の意義が理解できません。 そもそも、(1)で仮定していることを、なぜ(2)として、同様の論理式を記述する必要があるのか？ そして、なぜ背理法を(1)(2)から導出できるのかが理解できません。 お知恵のある方、どうぞご教示下さいませ。 宜しくお願い致します。
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その矛盾律（定理３）の証明では、直ぐ前の頁にある“派生規則３’[背理法の一種]と定理１[同一律]とが 導出規則として応用されているにすぎません。 その証明図の各行の右端の語句は〈その行の論理式の導出に用いた規則の明記〉です。 仮定ＡをA∧￢Aとおけば、それについて定理１を用いてA∧￢Aを導出できます。 導出されたA∧￢Aは派生規則３’でのＤ∧￢Ｄの図式に当たる論理式なので、 そのA∧￢Aについて派生規則３’用いて￢(A∧￢A)を仮定なしに導出できます。 （「仮定なしに」とは「仮定として立てたA∧￢Aのほうを その仮定の任から解いて」とも言い回せます。） こうして〈仮定なしの￢(A∧￢A)が導出できるコト〉いいかえると〈￢(A∧￢A)が定理であるコト〉が証明できます。 要するに、この証明での同一律は《行（3）で背理法を用いるための手筈》として用いられています。 なお、この証明は、１つのA∧￢Aに“仮定と同一律による帰結の一人二役”をさせて、 （1） A∧￢A [1] 仮定（にして帰結） （2）￢(A∧￢A) (1)(1)と背理法 のように短くするコトもできます。
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お礼
ご回答ありがとうございます。 この証明では、背理法を用いたいがために、同一律により、 A∧￢Aを導出しているのですね。おかげさまで理解できました。 ”仮定と同一律による帰結の一人二役”も大変興味深く 拝読いたしました。 深く御礼申し上げます。