関数について。ちょっとした疑問です。

質問

関数について。ちょっとした疑問です。
関数y=（xの式）があるとします。
まあ例えばy=2xとします。
x=1のときy=2ですね。
しかし、このとき、このyは関数の機能としての役割を果たしてはいないと思います。
（yにxの値を入力し、yがその値を変換して出力してる訳ではないですから。）
役割を果たしているのは、f（x）だと思います。
これならf（1）=2というように、xの値を入力し、出力してます。
だから、y=（xの式）があれば、yと（xの式）の間にf（x）が省略されているのではないのでしょうか？
ですが、y=f（x）=（xの式）は、y=（xの式）で表されるし、単にf（x）=（xの式）で表されます。
（a=b=0がa=0、b=0で表されるように）
このときは
y=（xの式）
f（x）=（xの式）
となるので、yはf（x）と同じになります。
だから、y=（xの式）はf（x）としての役割を果たしてると言えます。
つまり、y=（xの式）があれば、間にf（x）が隠れているのではなく、yがf（x）としての機能を果たしているのではないでしょうか？
しかしこのとき、上で述べたy=f（x）=（xの式）の関係を考慮してあると考えて。
まあ、y=（xの式）は、xの値が決まればyの値が決まるというちゃんとした関数ですけどね。
ですが、y=（xの式）があれば、（xの式）=f（x）と置けるから、f（x）が変換していて変換された値をyと置いているとも言えるとは思いますが。
でもまあ今まで通り、普通に、y=（xの式）があれば、ただ単にxの値を代入してyがある値になるから、yは関数としての機能があるのだととらえればいいですけど。
ですが、yが決まればxが決まるとも考えられるので、f（y）が省略されているとも考えられます。ごちゃごちゃしてきました。まあ普通はy=（xの式）はyがxの関数のですかね？
こんな事考えたらごちゃごちゃになりますが。
いったいどうなってるのでしょうか？

長くなりました。
つまり、関数y=（xの式）があれば、間にf（x）が省略されていると考えられるのでしょうか？

回答No.7

boiseweb · ベストアンサー

いいかげん同語反復に疲れてきましたが…

「y=」という旧来の関数観と f(・) という現代的な関数の記号は【まぜるな危険】です！

「y=（xの式）」という形にそれほど執着するなら，関数とは「値が相関しながら変化する状態」であるという古典的な関数観に浸りきってください．
その世界にはそもそも「値を変換して出力」という発想はありませんし，f(・) という記号もありません．

f(・) という記号を使うからには，「関数とは何かを入力すると何かを出力するブラックボックスであり，それを f(・) のような記号で表す」という思想を徹底してください．
そこにはxもyも=もありません．
「y=f(x)」という式を書くことは可能ですが，それはあくまで「変数x,yと関数の記号 f(・) を使って構成された等式」でしかありません．

なお，関数をブラックボックスと捉えて f(・) で表す純粋な集合論的立場では，「関数のグラフ」は次のように定義できます．
実数全体の集合をRで表し，簡単のためRからRへの関数だけを考えます．
RからRへの関数fのグラフとは，
====
{ ( t, f(t) ) | t∈R } で書き表される R×R（Rの2個のコピーの直積）の部分集合，すなわち，座標平面で（なんらかの実数tについて）( t, f(t) ) で表される座標をもつ点をすべて集めてできる図形
====
と定義します．
どうですか，この定義のどこにも「y=」は出てこないでしょう？

--------
この回答を最後に，私はこの議論から撤退します．

y=2x のような古典的な関数観と f(・) という現代的な関数観の両方とうまく整合して，しかも，多くの数学・数学教育関係者が納得できるような，包括的な関数概念の説明などというものは，少なくとも私は持ち合わせていませんし，探す意欲もありません．たぶん，そんな理想的な説明は，「y=f(x)」という記号を使っている教科書の著者も含めて(!)，だれも持っていません．
質問者さんが【まぜるな危険】という私の忠告を受け入れず，あくまで当初の質問への答を求めるなら，それに答えうるのは質問者さんご自身だけです．どうぞ，自他ともに一点の曇りもなく納得できる完璧な説明を，考え抜いて見出してください．

お礼

ありがとうございました。
もうこの議論はなんとか解決できました。
本当に同じ事ばかりすみませんでした。

回答No.6

alice_44

集合論上で形式的に写像を定義するなんてのは、
物理的直観に訴えたい人にとっては、
abstruct non-sense の内なのかもしれない。

１６世紀くらいの旧い「関数」観と
近代の記法を折衷しようというのなら、
間に f(x) が省略されていると考えるよりも、
左辺が y(x) の略記だと考えてしまったほうが
スッキリするような気もする。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.5

kagesakura

単純にy=f(x)=2xはいいのですが、
世の中には
y=f(x)+g(x)
f(x)=2x
g(x)=x^2 ただし　-1≦x≦1の間だけ有効
とかあります。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.4

qualheart

単純に考えれば、「xの式」という言葉を数学用語で表記したのがf（x）じゃないですか？
別にf（x）は省略されている訳じゃないでしょう。単純に「xの式」の表記の仕方の問題だと思います。

ご参考まで。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

boiseweb

過去の度重なる類似質問への回答，たとえば

http://okwave.jp/qa/q6159748.html の #2
http://okwave.jp/qa/q6218531.html の #3
http://okwave.jp/qa/q6237966.html の #2

で尽きているはずの問題を，なんでまた，しつこく蒸し返すんですか？

「y=（xの式）」のように，等号で結ばれた式全体を「関数」と呼ぶ，あるいは，「y=（xの式）」という等号で結ばれた式を念頭に置きながら「yはxの関数である」と称するのは，古臭い考え方です．

関数を「何かを入力すれば何かを出力するブラックボックス」と考えて，それを f(・) などの記号で表すのが，現代的な考え方です．
現代的な立場では，関数を書き表すときに「y=」は現れません，というより，「y=」を持ち出すべきではありません．

関数の現代的な考え方や記法は，旧来の関数の考えにはマッチしないのです．
それを無理にすり合わせようとするのは，無駄な努力です．
関数とは何かをすっきり理解しようとするなら，旧来の「y=」のしがらみをきっぱり捨ててください．

y=2x の例について．
この式を見ながら「yはxの関数です」というのは，旧来の関数観です．
y=2x という式が示唆する（旧来の考えに基づいて解釈して読み取れる）関数概念を，現代的な立場で表現しようと思ったら，たとえば，（Rは実数全体の集合として）
「fはRからRへの関数であって，xに2xを対応させるもの」
「f:R→R; f(x)=2x」
あるいは，もっと簡単に（fがRからRへの関数であることは文脈からわかるという前提で）
「f(x)=2x」
などと表現することになるでしょう．
これらの表現のどれにも「y=」は出てきません！

補足

回答ありがとうございます。
自分は神経質すぎまして。
まあもう大丈夫だと思います。
でも、関数をグラフに表すなら、f（x）=2xはy=f（x）=2xつまりy=2xとしますよね。
だから、グラフのときはy=（xの式）は古臭いとかはないのですかね？
なんか上手く言えません。
まあ、関数を表すときはf（x）=2xなどと表しますね。
それをグラフに書くならy=f（x）=2xつまりy=2xというように、一般的にはyが出てきますね。

回答No.2

Tacosan

「関数y=（xの式）」とあるんだったら, 普通は単純に「y は x の関数」と解釈する. わざわざ「間にf（x）が省略されていると考え」たりする必要はない.
この辺は (説明がうっとうしいので) 「常識」とか言って逃げたりしますけど, まぁその通り「その場で『常識的に』判断」となろうかと.

お礼

回答ありがとうございます。
確かにそうですね。

回答No.1

nattocurry

y=2x
これは、xとyの関係式。

2x
これがxについての関数

f(x)
これは、xについての関数であることを表す表記だけど、中身はこれだけじゃ解らない。

f(x)=2x
f(x)はxの関数で、中身は2xというxの関数である。

y=f(x)
xの関数f(x)をyとした関係式

yはあくまでもyです。

・・・というのが私の認識ですが、確信は持てませんｗ

お礼

回答ありがとうございます。
つまり、回答者さんの解釈によると、yはyで、やはり変換してるのはf（x）だという事ですかね。