数学関数とは
- 数学における関数とは、ある値xに対して、ただ一つのyが対応するような関係を指します。
- 関数は一般的にy=f(x)で表され、yはxの関数と言います。
- 具体的には、ある集合Aからある集合Bへの写像fで、集合Aが実数や複素数などの数の集合である場合に特に関数と言います。
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数学 関数とは
数学における関数の定義は、 ある値xに対して、ただ一つのyが対応するような関係があるとき、 この関係を関数といい、一般的に y=f(x)で表す。 また、yはxの関数であるという。 ある集合Aからある集合Bへの写像fで、特に集合Aが実数や複素数などの 数の集合であるとき、fを関数と言う事が多い。 と認識しています。 y=x^2はyはxの関数であると言えます。 質問(1) y^2=xはy=±√xとなります。 この場合もyはxの関数と言えるのでしょうか？ yがただ一つに定まらないため関数とは言えないと考えます。 ただ、xはyの関数とは言えると考えます。 webで調べるとy^2=xは無理関数と言うようです。 質問(2) yはxの関数，xはyの関数とはどのように違うのでしょうか？ 質問(3) 関数と言う言葉自体は、yとxの関係を指す言葉だと認識して いるのですが、有理関数や無理関数と言う言葉は式自体を指す 言葉なのでしょうか？ 質問(4) 例えば、y=f(x)において、f(x)が無理式である場合は、 yはxの無理関数と言ったりするのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- RY0U
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実数を定義域とするDirichlet関数 f(x)=1(x有理数) f(x)=0(x無理数) は一価関数ですよ．なぜならどんなxも有理数か無理数かどちらか一方に定まりf(x)も一つの値に定まるからです．無理数は有理数でない実数ですから有理数であってかつ無理数である実数などないわけです．もしあるならそのxに対してf(x)=0,1と多価関数になってしまいます． とにかく，一つのxに対しf(x)がただ一つの値（±√2のように多価ではない)に定まれば関数（写像ともいう）なのです．
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- alice_44
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←A No.4 補足 さて、どうなんでしょうね。 いろいろな意見の人がありますからね。 その中で、私が述べているのは、 安易に定義を拡大せず、 「関数」ついては一意性に拘るべきだ …という考え。 だから、コケモモの話をしたんですよ。 多価関数まで含めてしまうと、 定義が複雑になってしまうけれど、 「関数」は数学の諸分野の基礎を支える 根本的な概念だから、その定義は 簡潔なものでないと遺憾と思うからです。
お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞関数」は数学の諸分野の基礎を支える ＞根本的な概念だから、その定義は ＞簡潔なものでないと・・・・ なるほど、非常に参考になりました。 ありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
A No.2 の書き方だと、 多価関数は、結局、関数なのかどうか？ がキッパリしていないので…ちょっと加筆。 関数の分類として一価関数と多価関数があるとは、 思わないほうがよいです。 関数(= 一価関数)と多価関数が別にあって、 それぞれ有用な概念だということです。 多価「関数」と言うじゃないかって？ カジキマグロはマグロの一種じゃないし、 コケモモはモモの一種じゃないんですよ。 知ってました？
お礼
コケモモ美味しそうですね。 食べたことないので、食べてみたいのですが 近所には売ってなさそうです・・・
補足
ご回答ありがとうございます。 カジキマグロはマグロの一種じゃないし、 コケモモはモモの一種じゃないんですよ。 知ってました？ 知りませんでした。コケモモに関しては存在すら知りませんでした。 関数についてなんですが、 狭義の意味では一価関数を示し、広義の意味で多価関数を示す と解釈するとしっくりくるのですが、この解釈は誤りでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ereserve67
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(1)例えばx=2に対してy=±√2という2つの値が対応するから関数ではありません． y^2=xは2つの無理関数y=√xとy=ー√xを表します． (2)yがxの関数であるとき， xを独立変数，yを従属変数 ということがあります．すると，xがyの関数であるとき， yを独立変数，xを従属変数 ということになります．要するに記号が逆になっているだけです． (3)有理式（分数式の分母と分子が多項式であるもの）や無理式（加減乗除だけでなく平方根やべき根も含む式）で表された関数をそれぞれ有理関数，無理関数と言うのです． 一般にxの多項式などxの式f(x)はxに対し一つの値を定めているので関数です．しかし，すべての関数が式で表せるとは限りません．例えば0≦x≦1のとき f(x)=1(xが無理数のとき)，f(x)=0(xが有理数のとき) という関数f(x)は式で表すのは無理でしょう．しかしこれは関数です． （4）その通りです． 質問者様の疑問は関数概念の抽象さから生じているのだと思います．ですが，質問者様のような考えは自然な考えです．関数概念の歴史を少し紹介しましょう． 関数概念が最初に活躍したのは数学というよりも力学です．力学ではある時刻tに座標xの位置にあるということを問題にするのでx(t)はｔの関数になります．それを頼りにNewtonにより微分積分が発見されました．力学の問題に微分積分などの数学が非常に役に立った時代の大数学者Eulerは関数は式で表せるものとしました．これは力学の方程式の解を関数として求める場合，関数が式という表現で表せると便利だから，そういうものが追求された結果なのではないかと思います．しかし，現在のような抽象的な定義はDirichletよってなされました．これが現在の関数概念なのです． つまり 微分積分可能な関数(Newton)や式で表せる関数(Euler)→対応による関数(Dirichlet) と具体的な関数から抽象的な関数へと拡大されてきたわけです．抽象的なことを最初に教えられるとなかなかわかりにくいですね．
補足
ご回答ありがとうございます。 一点だけ追加質問させて下さい。 当初の質問内容からちょっと脱線しているかもしれません・・・ ＞微分積分可能な関数(Newton)や式で表せる関数(Euler) ＞→対応による関数(Dirichlet) との事ですが、Dirichletの名前を冠しているディリクレ関数は 上で定義している関数（一価関数）とはまったく逆の考えのように 思います。 ディリクレが定義している関数とは対応だけで一意性は含まれない のでしょうか？
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
質問(1) 本来、貴方が言うように、一意性こそが関数の定義であって、 y^2 = x の y は x の「関数」ではないのですが、 定義域と値域を適当に制限することで(一価)関数になるような モノを「多価関数」と呼んでしまうことはあります。 そのような用語にも、ソレナリの使い勝手がありますから。 その場合でも、「多価」とつけずに黙って「関数」と言ったら、 一価関数のことを指していると考えたほうがよいです。 「無理関数」という言葉があるのかどうかは、よく知りません。 あるいは、実関数であって有理関数でないモノのことを指して 言うのかも知れませんが… 「実関数」の「実」と「有理関数」の「有理」は、ずいぶん 由来の違う言葉ですから、どんなもんかなあと思うけど。 いづれにせよ、y^2 = x が一意的かどうかと関連した呼び方 ではありませんから、今回質問とは別の話題のようです。 質問(2) 「関数」の定義は、質問文冒頭に貴方が書いているとおり だと思いますよ。 質問(3) 「有理関数」とは、有理式で表すことができる関数のことです。 そう言うと、式のことを指して言っているようにも聞こえますが、 例えば log(exp( 1 + 1/x )) は x の有理関数ですから、 有理関数であるとかないとか言うのは、式についてではなく、 関数について言っているのです。 質問(4) さあね。 そもそも、「無理式」って何でしょう？
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
＞数学における関数の定義は、ある値xに対して、ただ一つのyが対応するような関係があるとき、 「ただ一つのyが対応するような」：複数でもよろしい。対応がはっきりしているとき従属変数yは変数xの関数とです。一個の場合を一価関数、複数の場合を多価関数といいます。 質問(1) y^2=xはy=±√xとなります。 この場合もyはxの関数と言えるのでしょうか？ yがただ一つに定まらないため関数とは言えないと考えます。 Ａ.考え違いです。多価関数の典型的な例です。 質問(2) yはxの関数，xはyの関数とはどのように違うのでしょうか？ Ａ.変数と従属変数の取り方の違いだけです。 質問(3) 関数と言う言葉自体は、yとxの関係を指す言葉だと認識して いるのですが、 Ａ.２つ以上の変数の間の関係です。そもそも質問者はｘとｙをどのような意味で使っているのか、説明がありません。 有理関数や無理関数と言う言葉は式自体を指す言葉なのでしょうか？ Ａ．関数の形を示します。 質問(4) 例えば、y=f(x)において、f(x)が無理式である場合は、 yはxの無理関数と言ったりするのでしょうか？ Ａ.はい。
補足
ご回答ありがとうございます。 同じくwikipedeliaによれば（以下引用）、 現代的な定義での関数は写像の一種とみなされ、一つの入力が あるときに出力を一つだけ得るものと定義されることが多く、 この場合には多価関数を「関数」と呼ぶのは不適切となる。 とありますが、どうなのでしょうか？ 質問(3)について、 xとyの関係は、y=f(x)として考えています。
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