関数についての参考書の説明がよくわかりません

質問

2つの変数x、yについて
xをある値に定めたとき、それに対して、ただ一つのyの値が定まるとき、yはxの関数であるといい
y=f(x)と表す。
fはxの式のこと。

と書かれているのですが
意味がよくわかりません。

初めはfはyとxが関数であることのマークみたいに書かれていますが
その下にfはxの式のことと書かれていて

頭が混乱しています。
いったいfとは何なのですか?

回答No.12

ORUKA1951 · ベストアンサー

No.8です。
　それで良いとおもいますよ。
　私は、しばしば「数学語」と表現しますが、言葉で書くとあなたが書かれたように冗長になってしまいますから、誰でも（数学が分かる人には？）、明確に伝えるための会話につかう言語だと言っています。
　f(x)とは単純に、xのfanction(函数)と読み取ればよいだけです。複雑なことは考えない・・・だってそのための数学語ですから(^^)

お礼

ORUKA1951 さんありがとうございます。

回答をしてくださった皆さまありがとうございました。

回答No.11

jmh

ある値に定めたときそれに対してただ一つの値が定まるとき、その規則や対応を「関数」と言います。
例: どんな値ｘ対してもｘ＋１という値はただ一つに定まるので、この対応は「関数」です

関数に文字を命名することがあります。
例: この関数をｆとする

その場合に、値ｘに関数ｆを適用して得られた値をｆ(ｘ) と記します。
例: ｆ(４) ＝４＋１ (＝５)
例: ｆ(α) ＝α＋１

文字ｘに対して関数を適用して得られた結果を表示して「ｘの関数」などということがあります。「ｘの」と明示しないことがあるかもしれません。
例: ｘ＋１はｘの関数です →「ｘに対してｘ＋１を対応させるのは関数です」
例: ｆ(ｘ) はｘの関数です →「ｆはｘに対してただ一つの値を定める対応＝関数です」

文字ｘに対して関数を適用して得られた結果に文字を命名することがあります。
例: ｙ＝ｘ＋１
例: ｙ＝ｆ（ｘ）
さらに「ｙ＝ｘ＋１はｘの関数」などと圧縮表記することもあります。
いきなり「ｙはｘの関数」ということもあります。

回答No.10

alice_44

それは、教科書の説明が悪い。間違っています。

x を定めると、y が唯一に決まるとき、
その「x から y への対応」のことを
「関数」というのです。

y = f(x) であれば、y でも f(x) でもなく
f が「関数」です。関数 f によって、
x に対応する値 f(x) が定まるのです。

関数は f は、f(x) が x の式で表される
ものだけとは限りません。
例えば、実数 x 以下の素数の個数を f(x)
なんてのも、関数の一種ですが、
式で書けそうな気はしません。

しょーもない教科書ですね。
この回答をプリントして、先生に質問
してごらんなさい。

回答No.9

chie65535

深く考えちゃいけません。

単に

「y=2x^3+5x^2-6x+3とした場合、ｘが1の時のy、xが3の時のy、xが5の時のyを求めよ」

って書くと長くなるので

「f(x)=2x^3+5x^2-6x+3のとき、f(1)、f(3)、f(5)を求めよ」

って書けたら、短くて便利でしょ？

「f(x)」を使うのは「この表記だと短く書けるから」ってのが理由。

それ以外、あまり意味は無いので、深く考えちゃダメ。

回答No.8

ORUKA1951

No.5です。
＞f(x)にax² + bx +cを代入して
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ここが違う!
　代入も何もしません。f(x) は、万国共通の『数学語』で、日本語に翻訳すると　「xの函数」と言う意味以上でも以下でもありません。!!
　f(x) = ax² + bx + c
とは、「その函数は、ax² + bx + cである」と言う意味、そのままで代入ではありません。

　f(x)がでてきたら、そのまま「xの函数f(x)」と翻訳してください。先に回って考えたらダメ!!

補足

皆さんありがとうございます。
皆さん全員の回答を読ませてもらっています。

ORUKA1951さんの回答の補足の部分を使わせてもらい
皆さんからいただいた回答を
自分の中で整理した考えを書かせてもらいたいと思います。

間違っている部分があれば指摘してください。

y=f(x)は
yはxの函数である

という意味で
普通、これが単独で使われることは無く

普通は
f(x)=ax^2+bx+c
といった形で、どういう式の中でyはxの函数なのか
ということが書かれている

そして

y=f(x)=ax^2+bx+c

これはax^2+bx+cという式の中でxはyの函数である
という意味になる

参考書の説明は不十分で

y=f(x)
というのはもっと正確に書くと

「ある式の中でxはyの函数である」
ということを表していて

そういう意味で参考書には
最後に
「f(x)は何かxの式のこと」
ということが書かれている

と考えておけばいいでしょうか
よろしくお願いします

回答No.7

birth11

『fはxの式のこと』を『f(x)はxで表された式のこと』と言ったら了解できますか？

回答No.6

tsukita

>y=f(x)に意味はない
>まず初めになんらかのxの式があることが前提

どちらも、間違っているとは思えませんが、
私なりに整理してみます。
理解の助けになれば嬉しいです。

***********************************************************************

例えば、テレビのリモコンのボタンを考えてください。
ボタンの番号は１～１２くらいまでありますね。
このボタンの番号が変数です。（１～１２まで自由に変えられます。）

このボタンを押すと、
　４なら日本放送、８ならフジテレビ
というように放送局が１つ決まりますよね？
したがって、放送局　は　テレビリモコンのボタンの番号　の関数(英語でfunction)です。

　　　放送局 = f(テレビリモコンのボタンの番号)

でも、エアコンのリモコンボタンを押してもテレビの放送局を変えることはできない
だから、放送局は、エアコンリモコンのボタンの番号の関数ではありません。

　　　放送局　≠　f(エアコンリモコンのボタンの番号)

*******************************************************************

数学の話にもどすと、いま、
変化する量が２つ（気温と湿度）あって、
t : 気温
s : 湿度
アイスクリームが売れる個数が y であるとします。
このとき、次の(1)～(3)の違いがわかりますか？

(1)　y = f(t,s)
(2)　y = f(t)
(3)　y = f(s)

関数の意味がよくわかる人は次のように解釈します。

(1)では、
アイスクリームが売れる個数(y)は、気温(t)と湿度(s)の両方が
わかってはじめて決まるなぁ。

(2)では、
アイスクリームが売れる個数(y)は、気温(t)にだけ関係ある。
湿度は関係ないな。

(2)では、
アイスクリームが売れる個数(y)は、湿度(s)にだけ関係ない。
温度は関係ないな。

違いがわかりますか？
実際には、
アイスクリームがうれる個数 = f(気温、湿度、天気、風速、季節、人口、・・・)
というように、複雑でしょうが。

************************************************************************

つまり、問題に文字がx,y,zと３種類あって
y=f(x)　とあれば、あぁ、詳しい関係はわからないけど、
yはxに関係があるんだな、zには関係ないんだな、ということがわかります。

****************************************************************

さて、実際の数学の問題では、y=f(x)とだけ書かれても、
“yとxは関係がある”ということしかわからないので、
数学の問題になりません。
そこで、この関係は y = x^2 + x + 1 の関係だよ
というように、yとxが、“具体的な式”で説明されます。

y=f(x) ←yはxの関数である（xと関係がある）ことだけがわかる。
y=x+5 ←yはxの関数であり（xと関係があり）、
　　　　　その関係は具体的に、xに５を足したものがyである関係

この意味で、“fはxの式のこと”という記述があるのです。

回答No.5

ORUKA1951

No.3さんへの補足を見て、なにが混乱の原因か分かりました。
y = ax² + bx +c
という方程式・関数は、yとxの関係を表す函数です。←こちらの字が正しい
f(x) とはfanction(x)・・・xの函数と言う意味ですが、yとの関係を示しているわけではありません。
　国語そのままに、
f(x) = ax² + bx +c とすると
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣は、式をf(x)にしただけです。
その上で
y = f(x) とすると
￣￣￣￣￣￣￣￣￣で、はじめて、yはxの函数であり、その関数は ax² + bx +c であるとなるのです。

　f(x)はyとの関係を示す一切の意味はありませんから
『xをある値に定めたとき、それに対して、ただ一つのyの値が定まるとき』
『yはxの関数であるといい』
　ここではじめて、y = f(x) を文章で定義して、それを「数学語」で 『y=f(x)と表す。』と翻訳して、はじめて意味を持つのです。

＞要するに、このy=f(x)は、xとyが関数であることの印と、fは式の省略(xがどういう式を通してyと関数であるかの式)の二つの意味があると考えればいいのでしょうか?

　概ね合ってますが、少し違います。
y = f(x) とは、yはxのよって決まるという意味。
　省略ではなく文字通りyはxの函数と言う意味。それが意味を持つのは、
f(x)がどういう式であるかが示されたときです。

ふたつ以上の函数があるときは
f(x)，g(x)・・・と言う風に表しますし。

お礼

補足のほうの考え方は間違っていたかもしれません。

y = f(x)

という単独の式自体には何の意味もなく

f(x)=ax² + bx +c
と
f(x)にax² + bx +cを代入して
そのうえで

y=f(x)
とすることで
初めて
yはxの函数である　

と考えることが出来て

そして「fはxの式を表している」
ということになる

ということでしょうか。

まず初めになんらかのxの式があることが前提
ということなのでしょうか

補足

ありがとうございます。
しかし少し私には難しいです。

■
y = f(x)

これだけでは
yはxの函数であるということのみを表している。

■
y = f(x)
の右辺に
ax² + bx +cを代入する

その代入がされて
y = f(x) 　
の形は
yはxの函数で、fはxの式を表している

と考えることが出来る

ということでしょうか?
全然違うことを書いていたら申し訳ないです。

回答No.4

chie65535

訂正。

誤：「fはxの式」を言い換えると「fはを含む式で出来ている」って事。

正：「fはxの式」を言い換えると「fはxを含む式で出来ている」って事。

なぜか「x」が抜け落ちちゃいました。

回答No.3

chie65535

y=f(x)

これが「yはｘの関数」って状態。

んで「xをf関数に入れたら、どんな値が出て来るか？」を書き表したのが

f(x)=x^2+3x+3

のような式で、この式の右辺はxを含む式だから、「fはxの式」って言える。

「fはxの式」を言い換えると「fはを含む式で出来ている」って事。

「y」と「f(x)」と「x^2+3x+3」の３つ全部を=で繋いだら

y=f(x)=x^2+3x+3

って事だから、良く考えないと、混乱しちゃうかも（って、実際、混乱してるよねｗ

因みに「f」は英語の「関数」を意味する「function」の頭文字。

補足

皆さんありがとうございます。
chie65535さんの回答の補足から確認させてもらいたいのですが

この参考書の説明は少し説明不足で
詳しく書くと

まず、例えば

y=x^2+3x+3

という式があって

このxはyの関数だからy=f(x)　(「yはxの関数である」という意味)

そしてこのfはx^2+3x+3　も　表している。

要するに
このy=f(x)は

xとyが関数であることの印
と
fは式の省略
(xがどういう式を通してyと関数であるかの式)

の二つの意味があると考えればいいのでしょうか?

回答No.2

KEIS050162

関数のことを英語で、Function (ファンクション）と呼びます。この頭文字をとって、関数のことを　ｆ　で表すことが多いです。必ず　ｆ　でなければならないわけではないですが、混乱するので取りあえず、ｙ＝ｆ（ｘ）　について説明します。

関数には変数があるので、変数　ｘ　による関数という意味で、一例として

　ｆ（ｘ）　= 3x + 2 　

などと書きます。

ｘの値をいろいろ変化させる時、例えば、０、１、２などの場合に、ｆ（０）　=　２、　ｆ（１）＝５　、ｆ（２）＝８　などの様に、ｆ（ｘ）は３ｘ＋２を表すものとして省略して書けます。（）内の数字を定義した式に代入するということですね。

ｙ　=　ｆ（ｘ）　とする場合は、ｆ（ｘ）　は　ｙ　と　ｘ　の関係を表す関数ということになります。

ｘ－ｙ平面上にグラフを描くことをイメージしてみると良いでしょう。、
縦軸を　ｙ　横軸を　ｘ　とした時、ｙ＝ｆ（ｘ）　（上の例で言うと、ｙ＝３ｘ＋２）と定義すると、ｘ　の値によって　ｙが変化していきます。

方眼紙などに書いてみてください。これで、更に　ｘ　の値に色々な数字を代入して、方眼紙に　ｘ　の値ごとにｙの値をｆ（ｘ）にそれぞれ値を代入して計算し、プロットしていってみてください。多分、一直線上に点が並ぶはずです。

取りあえず、このくらいであとは教科書をよーく読んでください。