不等式で表される立体の体積を求め

質問

不等式で表される立体の体積を求め
|x+y+z|+|-x+y+z|+|x-y+z|+|x+y-z|<=4

どのように計算すれば良いのかが分かりません。
どなたか教えていただけませんでしょうか＞＜

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

斜行座標系で体積を計算することに抵抗感がなければ、
u = -x+y+z,
v = x-y+z,
w = x+y-z
と一次変換するほうがよさげ。

問題の式は、|u+v+w|+|u|+|v|+|w|≦4 と変形されるから、
No.2 同様の考察より、0≦u≦v≦w に制限した体積を
あとで (2^3)(6!) 倍すればよいことが解る。

0≦u≦v≦w に制限した体積は、uvw座標系で求めた体積を、
xyz座標系から uvw座標系への変換行列
-1　1　1
1　-1　1
1　1　-1
の行列式で割っておけばよい。行列式の値は、4 になる。

|u+v+w|+|u|+|v|+|w|≦4 かつ 0≦u≦v≦w の uvw座標系での体積は、
No.3 と同様に変形して、0≦u≦1/2 かつ u≦v≦1-u/2 かつ v≦w≦2-(u+v) より、
∫[u = 0 ～ 1/2] ∫[v = u ～ 1-u/2] ∫[w = v ～ 2-u-v] dw dv du
を計算する。

…このくらいなら、できそうだ。

お礼

さっそくのわかりやすいご回答ありがとうございます！
助かりました！

回答No.4

alice_44

No.3 の続きをやると…

x+y-z≦0 の範囲は
[1]　0≦x≦1/2 かつ x≦y≦1-x かつ x+y≦z≦1
だけで済むが、

x+y-z≧0 の範囲は
[2]　0≦x≦1/2 かつ x≦y≦1-x かつ y≦z≦x+y
または
[3]　0≦x≦1/2 かつ 1-x≦y≦1-x/2 かつ y≦z≦2-(x+y)
または
[4]　1/2≦x≦2/3 かつ x≦y≦1-x/2 かつ y≦z≦2-(x+y)
となる。

[1] と [2] は 0≦x≦1/2 かつ x≦y≦1-x かつ y≦z≦1
とくっ付けられるにしても、
まだ三重積分が３個あり、相当面倒くさい。

…ダメだこりゃ。

回答No.3

alice_44

24倍じゃなく、48倍だったね。

(0≦x≦y≦z かつ x+y-z≧0 かつ x+y+z≦2)
および
(0≦x≦y≦z かつ x+y-z≦0 かつ z≦1)
の体積の48倍。

回答No.2

alice_44

ナイーブに場合分けすると、
5連立一次不等式が16組出てきて
ワケワカランようになる。

対称性を利用しよう。
問題の図形は、x,y,z各々の符号反転と、
x,y,zの内の2個の入れ替えという
計6個の操作で、式が変化しない。

よって、0≦x≦y≦z である部分だけ見れば、
あとは、それと合同な部品が
(2↑3)×(3!)個あることになる。

0≦x≦y≦z かつ
(x+y+z)+(-x+y+z)+(x-y+z)+｜x+y-z｜≦4
の体積を求めて、
最後に24倍すればよい。

回答No.1

gigosyokuful

この立体は直方体で、x,y,zは各辺の長さという認識で間違いないでしょうか？