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立体の体積
球面x^2+y^2+z^2=a^2、円柱x^2+y^2=ay (a>0)および平面z=0で囲まれた部分の体積についてです。答えは(π/3-4/9)a^3です。 x=rcosθ、y=rsinθとして 0≦r≦asinθ 0≦θ≦π/2で2重積分すると、答えと一致しました。 しかし、はじめ自分は、0≦θ≦πで計算していたため一致しませんでした。何故0≦θ≦π/2となるのでしょうか? 教えて下さい。
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球面x^2+y^2+z^2=a^2、円柱x^2+y^2=ay (a>0)および平面z=0で囲まれた部分の体積を求める過程を教えてください。答えは(π/3-4/9)a^3です。 x=rcosθ、y=rsinθとして 0≦r≦asinθ 0≦θ≦πで2重積分しましたが、どうにも答えが一致しません。
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球面x^2+y^2+z^2=a^2、円柱x^2+y^2=ay (a>0)および平面z=0で囲まれた部分の体積についてです。答えは(π/3-4/9)a^3です。 x=rcosθ、y=rsinθとして 0≦r≦asinθ 0≦θ≦π/2で2重積分すると、答えと一致しました。 しかし、はじめ自分は、0≦θ≦πで計算していたため一致しませんでした。何故0≦θ≦π/2となるのでしょうか? 教えて下さい。 0≦θ≦πの場合 V=2∬[D]√(a^2-x^2-y^2)dxdy =2∫[o→π]{∫[o→asinθ]r√(a^2-r^2)dr}dθ r^2=tと置換して =∫[o→π]{∫[0→a^2sin^2θ]√(a^2-t)dt}dθ =2a^3/3∫[0→π](1-cos^3θ)dθ cos^3θ=(1-sin^2θ)cosθとしてsinθ=pと置換して =-2a^3/3∫[0→π]cosθdθ+2a^3/3∫[0→0]p^2dp+ 2a^3/3∫[0→π]1dθ ・・・* =2a^3π/3 答えと一致しない。 0≦θ≦π/2の場合 *について -2a^3/3∫[0→π/2]cosθdθ+2a^3/3∫[0→1]p^2dp+ 2a^3/3∫[0→π/2]1dθ =(π/3-4/9)a^3 答えと一致します。
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