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立体の体積
球面x^2＋y^2＋z^2＝a^2、円柱x^2＋y^2＝ay (a＞０）および平面ｚ＝０で囲まれた部分の体積についてです。答えは（π/3-4/9)a^3です。 ｘ＝ｒcosθ、ｙ＝ｒsinθとして ０≦ｒ≦asinθ ０≦θ≦π/2で2重積分すると、答えと一致しました。 しかし、はじめ自分は、０≦θ≦πで計算していたため一致しませんでした。何故０≦θ≦π/2となるのでしょうか？ 教えて下さい。 ０≦θ≦πの場合 V=2∬[D]√(a^2-x^2-y^2)dxdy =2∫[o→π]{∫[o→asinθ]r√（a^2-r^2)dr}dθ r^2=tと置換して =∫[o→π]{∫[0→a^2sin^2θ]√(a^2-t)dt}dθ =2a^3/3∫[0→π]（１-cos^3θ）dθ cos^3θ=(1-sin^2θ)cosθとしてsinθ＝ｐと置換して =-2a^3/3∫[0→π]cosθdθ＋2a^3/3∫[0→0]p^2dp＋ 2a^3/3∫[0→π]1dθ ・・・＊ =2a^3π/3 答えと一致しない。 ０≦θ≦π/2の場合 ＊について -2a^3/3∫[0→π/2]cosθdθ＋2a^3/3∫[0→1]p^2dp＋ 2a^3/3∫[0→π/2]1dθ =（π/3-4/9)a^3 答えと一致します。
- kotnbe
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http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4679348.html で回答しました。 上記質問のA#1の補足で 小さなミスがありますが 大きな間違いの原因は {(cosθ)^2}^(3/2)=|(cosθ)^3| を積分範囲のθ=0～πでcosθの符号が正から負に変化するのに θ=0～πで |(cosθ)^3|(cosθ)^3 として絶対値を無視してしまったことにあります。
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半径aの球面を考えます。 つまり ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝a^2です。 一方中心点（０、a/2)で半径a/2の円柱を考えます。 問題はこれが切り取る体積を求めることになります。 積分領域 「０、π/2」の場合 極座標変換は ｒ＝acosθ ｘ＝ｒcosθ ｙ＝rsinθ です。 ヤコビヤン｜J｜＝ｒとなり 面積用紙変換は dxdy------>rdrdθ V=∬[D]√(a^2-x^2-y^2)dxdy ＝∫[0→π/2]1dθ]{∫[o→acosθ]r√（a^2-r^2)dr}＝ ∫[0→π/2]dθ]{ー１/3（√（a^2-r^2)＾２/3}「ｒ＝０、ｒ＝acosθ」 ＝∫[0→π/2]「１－（sinθ）＾３」dθ ＝（a^3/3）（１＋cosθ -（１/3）cos^3θ）「θ＝０、π/2」 ＝（a^3/3）（π/2ー２/3）・・・・・・（１） 積分領域 「π/2、π」の場合 極座標変換は ｒ＝acosθ ｘ＝ーｒcosθ ｙ＝rsinθ です。 ヤコビヤン｜J｜＝ーｒとなり 面積用紙変換は dxdy------>ーrdrdθ V=∬[D]√(a^2-x^2-y^2)dxdy ＝∫[π/2-->π ]1dθ]{∫[o→acosθ]（ーr）√（a^2-r^2)dr}＝ ∫[π/2-->π]dθ]{１/3（√（a^2-r^2)＾２/3}「ｒ＝acosθ、ｒ＝０」 ＝∫[2π/2-->π]「１－（sinθ）＾３」dθ ＝（a^3/3）（１＋cosθ -（１/3）cos^3θ）「θ＝０、π/2」 ＝（a^3/3）（π/2ー２/3）・・・・・・（２） 全体の体積 V=（１）＋（２） ＝（π/３－４/9）a^3
０≦θ≦π/2のとき ｒ＝asinθ ｘ＝ｒcosθ、 ｙ＝ｒsinθ となります。 π/2≦θ≦πのとき ｒ＝asinθ ｘ＝ーｒcosθ、 ｙ＝ｒsinθ になります。
間違いました。 ＃３は無視してください。
半径aの球を考えます。 ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝a＾２ 一方 ｘ＾２＋ｙ＾２=ayは ｘ＾２＋（ｙ－a/2）＾２＝(a/2）＾２となり 中心点（０、a/2）の半径a/2の円柱となり これで囲まれた体積を求めることになります。 したがって ーπ/2≦θ≦π/2にはなりますが ０≦θ≦πにはなりません。
- info22
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#1です。 A#1での誤植（書き写しミス）です。 >θ=0～πで >|(cosθ)^3|(cosθ)^3 |(cosθ)^3|=(cosθ)^3 (等号が抜けてしまいました)
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