• ベストアンサー

体積を求めたい・・

Q=√(x/a)+√(y/b)+√(z/c)=1 (0<a,0<b,0<c) という曲面とx=0,y=0,z=0に囲まれた領域の体積を 求めたいのですが、どうやったらいいか分かりません。 多分sinやcosを使って置き換えないとならないと思うのですが、 どう置き換えたらよいのかが分かりません。 やり方だけでも教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.1

I= ∫[0,a]dx∫[0,b*(1-(x/a)^(1/2))^2] c*(1-(x/a)^(1/2)-(y/b)^(1/2))^2 dy x/a=X,y/b=Yとおくと I= abc∫[0,1]dX∫[0,(1-X^(1/2))^2] (1-X^(1/2)-Y^(1/2))^2 dY =abc∫[0,1]dX∫[0,(1-X^(1/2))^2] (1+X+Y-2X^(1/2)-2Y^(1/2)+2X^(1/2)Y^(1/2)) dY =(abc/6)∫[0,1](X^2-4*X^(3/2)+6*X-4*X^(1/2)+1)dX =abc/90

cotton463
質問者

お礼

ありがとうございます!!!

関連するQ&A

  • 体積問題です。

    次の図形の体積を求めなさい。(a,b,c>0) (1) (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2≦1 (2) x^2/3+y^2/3+z^2/3≦a^2/3 三重積分で極座標変換を使うのだと思いますが、 どう回答すれば良いのか分かりません。 解き方を教えてください。 極座標変換で(r、θ、φ)とおき、 x=r sinθ cosφ y=r sinθ sinφ z=r cosθ と変換しました。 よろしくお願いします。

  • 重積分で体積を求める問題です。{(x,y,z)|√x/a+√y/b+√

    重積分で体積を求める問題です。{(x,y,z)|√x/a+√y/b+√z/c<=1}(a,b,c>0)の体積を求めよ。 自分は積分領域D:√x/a+√y/b<=1、x,y>=0としてx=ar^2cos^4θ、y=br^2sin^2θと置いてJ=8abcr3sin^3θcos^3θ,DをM:0<=r<=1,0<=θ<=π/2に写して計算したのですが答えが合いません。 どなたか教えていただけないでしょうか。正解はabc/90になります。

  • 体積

    問.曲面xyz=a^3(aは正の定数)について、 (1)この曲面上の点P(x_0, y_0, z_0)における接平面の方程式を求めよ。 (2)(1)で求めた接平面と座標平面とで囲む三角錐の体積を求めよ。 (1)は接平面の方程式より、 x_0y_0z+xy_0z_0+x_0yz_0=3a^3 と求めることができましたが、(2)がわかりません。 ヒント下さい!!

  • 三重積分の体積の求め方

    x=(2+cosφ)×cosθ y=(2+cosφ)×sinθ z=sinφ のパラメータが与えられている時の体積の求め方を教えてください。(θ,φの範囲は共に0から2πです。)

  • 曲面と平面と座標平面で囲まれる領域の体積

    学校の課題なのですが, 曲面S1:z=x^2+y^2 曲面S2:3x+y=1 として,曲面S1と平面S2と座標平面(x=0,y=0,z=0) で囲まれる領域の体積を求める問題の解法が分かりません。 どなたが分かる方がいらっしゃいましたら 解き方を教えてくださると助かります。お願いします!

  • 九州大学理学部数学科編入学試験の問題です

    3次元空間において二つの曲面 A: xの2乗 + yの2乗 + zの2乗 = 1, B: xの2乗 + yの2乗 = x を考える. (1) これら二つの曲面で囲まれる領域の体積を求めよ. (2) 曲面Aが曲面Bによって切り取られる部分の曲面積を求めよ. 以上です。よろしくお願いします。

  • 体積を求める問題

    大学の数学の授業で出された問題で、何題かわからない問題があったので教えてください。 球x^2+y^2+z^2=a^2 (a>0) の内部にある円柱 x^2+y^2≦ax の部分の体積 楕円体 (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)≦1 (a,b,c>0) の体積 です。協力お願いします。

  • 2つの半径が等しい円柱を直交させたときの共通部分の体積

    2つの半径が等しい円柱を直交させたときの共通部分の体積 を求める計算の途中で行き詰まりました。アドバイスお願いします。 2つの円を y^2+z^2=a^2とx^2+y^2=a^2とします。 重積分で求めるとします。(別解もあるが) ∬√(a^2-y^2)dxdy 領域はx^2+y^2=a^2 0<x,y x=rcosθ、y=rsinθとおく。 ∬√(a^2-r^2sin^2θ)rdrdθ =∫a^2(1-cos^3θ)/3sin^2θdθ 0<θ<π/2 この積分で止まってしまいました。 アドバイスお願いします。

  • 重積分

    体積を求めよ。(a,b,c>0) 1.x/a+y/b+z/c<=1 x>=0 y>=0 z>=0 曲面積を求めよ。(0<b<a) 1.球面x~2+y~2+z~2=a~2のz>=bの部分 2.曲面z=1-x~2-y~2のz>=0の部分 全然わからないのでよろしくお願いします

  • 重積分の体積

    重積分の体積の問題で分からないものがあります。 どなたか解説頼みます(__ (1)Z=2-x^2-(y/2)^2とxy平面で囲まれる立体の体積を求めよ。 (2)2曲面Z=x^2+y^2-1とZ=-2x^2-2y^2で囲まれる立体の体積 (3)球x^2+y^2+z^≦a^2と円柱x^2+y^2≦axの共通部分。ただしa>0。 (1)まず与えられた式を立体に図示できないのですが、それぞれどんな形の式になるのでしょうか? (2)図示できなので範囲もわからないです^^; それさえできればあとは積分するだけですよね? (1),(2)の疑問を解説して下さい(__