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重積分を用いた、体積の求め方
球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)と円柱x^2+y^2=axで囲まれた立体の体積を求めよ、という問題があります。 領域D=｛(x,y)|x^2+y^2≦ax｝上で関数z=±√(a^2-x^2-y^2)に関する 2∬D|z|dxdyが求める体積です。極座標に変換すると、θの範囲は-π/2≦θ≦π/2で、ｒの範囲は0<r≦acosθですね。 求める体積は、2∬D｛√(a^2-x^2-y^2)｝dxdy=2∫{-π/2→π/2}∫{0→acosθ}√(a^2-r^2)*rdrdθ= -2/3*∫{-π/2→π/2}(a^3*(sinθ)^3-a^3)dθ ここで、θの範囲を0→π/2に変えて、全体を2倍しなければ正しい答えが出ません。（(sinθ)^3は奇関数なので、当然異なった値が出る。） なぜ、θの範囲を0→π/2に変えて、全体を2倍する作業をしなければならないのでしょうか？ 答えは2a^3*(3π-4)/9となっております。
- milkyway60
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こんにちは。 （sinθ）＾２＋（cosθ）＾２＝１・・・・・・・（１） と言う公式をよく使う。 しかし、（１）式をも少し分析すると （±sinθ）＾２＋（±cosθ）＾２＝１・・・・・（２） と言う情報を持っていることがわかる。 とにかく、（１）式は（２）式を意味しているのです。 では、（２）式をも少し詳しく分析してみる。 （第I象限）において （＋sinθ）＾２＋（＋cosθ）＾２＝１・・・・・（３） sinθ＜ーーー＞cosθに変換する場合（３）式を 使う必要があります。 なぜなら sinθ＞０、cosθ＞０であるからです。 （第II象限）の場合 （＋sinθ）＾２＋（－cosθ）＾２＝１・・・・・（４） を使う必要があります。 なぜなら sinθ＞０、cosθ＜０であるからです。 （第III象限）の場合 （－sinθ）＾２＋（－cosθ）＾２＝１・・・・・（５） 式を使う必要がありますね。 なぜなら sinθ＜０、cosθ＜０であるからです。 （第IV象限）の場合 （－sinθ）＾２＋（＋cosθ）＾２＝１・・・・・（６） 式を使う必要がありますね。 なぜなら sinθ＜０、cosθ＞０であるからです。 したがって-π/2≦θ≦０の領域（第IV象限）で計算する場合は（６）式を使う必要があるのです。 この点に気をつけて計算すると正しい答えが出てきます。
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- info22
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過去問で同じ問題で同じ質問に回答していますのでご覧下さい。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4683822.html http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4689373.html
お礼
リンクありがとうございました。 象限と正負の関係で混乱するケースは多いみたいですね。 そこがこの問題の難しいところだと思いました。
- Tacosan
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r で積分したときに, ルートを何も考えずに外したから. √(1 - cos^2 θ) と sin θ が常に等しいわけじゃない.
お礼
ありがとうございました。 sin θがマイナスになる場合もあるんですね。
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