定積分の問題

質問

[1]変数変換を用いて、次の重積分を求めよ。
∬D √(a＾２-x^2-y^2)dxdy , D={(x,y);x^2+y^2≦ax}

半径＝aの球を考える。
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝a＾２であり。
ｚ＝√(a^2-x^2-y^2)となり、被積分関数は上半球となる。

一方、積分領域は
D={(x,y);x^2+y^2≦x}
＝{(x,y);（ｘ－a/2）^2+y^2≦（a/2）＾２}
となり。
中心点（a/2、０）で半径a/2の低円の円柱が切り取る
体積をもとめることになります。

・積分領域「-π/２、０」の場合

ｒ＝acosθ
ｘ＝ｒcosθ
ｙ＝－ｒsinθ

関数行列式｜D|＝－ｒとなります。
つまり
dxdyーーーーーー＞－ｒｄθdｒ・・・・・（３）

V=∫[-π/2、０]∫[0,acosθ]（－ r）√(a^２-r^2) dr dθ
＝∫[-π/2、０]dθ∫[ 「（１/3）｛（a^2－r^2)＾３/2｝」 [ｒ＝0,acosθ]
＝a^3/3∫[-π/2、０]（sinθ＾３-１）dθ
＝a^3/3[（ーθーcosθ+（１/3）cosθ＾３）[θ＝-π/2、０]
＝（a^3/３）（ーπ/2ー２/3）・・・・・（４）

となり、正解
（a^3/３）（π/2ー２/3）になりません。
どこが間違いでしょうか？

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#4,#5です。

A#5の補足の質問の回答
A#4に
「また、式中の文字や記号は半角の英数字記号がある場合は、半角文字を使うようにして下さい（常識です）。回答者にとって、式が分かりづらく、扱いにくくて困ります。」
と書いたはずですが無視ですか？
このサイトに質問する場合は常識ですので守ってください。

>-π/2≦θ≦π/2と一気にやってもできません。
>分割しても、できません。どこがまちがいでしょうか？
>どこが間違いでしょうか？

Vは全体の体積の積分になります。
> V=∬[D'] {√(a^2-r^2)}|J|drdθ,
このVは全体の体積の積分になります。
> =∫[-π/2、０]∫[r=0,r=acosθ]（ r）√(a^２-r^2) dr dθ
V=∫[θ:-π/2,π/2]∫[r:0,acosθ] (r)√(a^2-r^2) dr dθ

> ＝∫[-π/2、０]dθ∫[r=0,r=acosθ] [ （-１/3）｛（a^2－r^2)＾３/2｝] dr ← この書き方は×
V=∫[-π/2,π/2] {[(-1/3)(a^2-r^2)^(3/2)] [r:0,acosθ]}dθ
=(1/3)∫[-π/2,π/2] [(a^3)-(a^3){1-(cosθ)^2}^(3/2)]dθ
=(1/3)∫[-π/2,π/2] [(a^3)-(a^3){(sinθ)^2}^(3/2)]dθ
=(1/3)(a^3)∫[-π/2,π/2] (1-|sinθ|^3)dθ
θの積分範囲は[-π/2,π/2]ですから　sinθの符号を調べると
θ:[-π/2,0]でsinθ<0より|sinθ|=-sinθ、
θ:[0,π/2]でsinθ>0より|sinθ|=sinθ
となるので
積分範囲をθの積分範囲を分割して積分しないといけません。
あるいは
偶関数「 (1-|sinθ|^3)」をθを正負対称な範囲で積分するので
片方の範囲で積分して2倍すればいいですね。

>＝a^3/3∫[-π/2、０]（1-sinθ＾３）dθ
θ:[-π/2,0]だけで積分するなら
V=(2/3)(a^3)∫[-π/2,0] (1+(sinθ)^3)dθ
θ:[0,π/2]だけで積分するなら
V=(2/3)(a^3)∫[-π/2,0] (1-(sinθ)^3)dθ
積分範囲を分けるなら
V=(1/3)(a^3){∫[-π/2,0] (1+sinθ^3)dθ+∫[-π/2,0] (1-sinθ^3)dθ}
という積分になります。

V/2をθ:[-π/2,0]で計算する場合
V/2=(1/3)(a^3)∫[-π/2,0] (1+(sinθ)^3)dθ
=(1/3)(a^3)∫[-π/2,0] [1+(sinθ)(1-(cosθ)^2)]dθ
=(1/3)(a^3)[θ-cosθ+(1/3)(cosθ)^3)] [-π/2,0]
=(1/3)(a^3){(π/2)-1+(1/3)}
=(1/3)(a^3){(π/2)-(2/3)}
ちゃんと正解が出てきます。

>＝a^3/3[（θ+cosθ-（１/3）cosθ＾３）[θ＝-π/2、０] ←×
>＝（a^3/３）（π/2+２/3）・・・・・（４）
>となり、正解
>（a^3/３）（π/2-２/3）が出てこない？

ちゃんと理解しましたか？

補足

コメントありがとうございます。

＞V=∫[-π/2,π/2] {[(-1/3)(a^2-r^2)^(3/2)] [r:0,acosθ]}dθ
＞=(1/3)∫[-π/2,π/2] [(a^3)-(a^3){1-(cosθ)^2}^(3/2)]dθ
＞=(1/3)∫[-π/2,π/2] [(a^3)-(a^3){(sinθ)^2}^(3/2)]dθ
＞=(1/3)(a^3)∫[-π/2,π/2] (1-|sinθ|^3)dθ
＞θの積分範囲は[-π/2,π/2]ですから　sinθの符号を調べると
＞θ:[-π/2,0]でsinθ<0より|sinθ|=-sinθ、
＞θ:[0,π/2]でsinθ>0より|sinθ|=sinθ
＞となるので

たしかに、そうですが、なぜ被積分関数の符号を
変える必要があるのですか？

ここがわかりません。

回答No.5

info22

#4です。
A#2の補足の回答になりますが
>極座標変換は
>どこであっても
>
>ｒ＝acosθ
>ｘ＝ｒcosθ
>ｙ＝ｒsinθ
>｜J|＝ｒ
そうです。
極座標(r,θ)の変数の変域は,
0≦r＜∞
0≦θ<2π　または -π≦θ＜π
となります。
今の場合は
D={(x,y);x^2+y^2≦ax}
の領域の制限から
0≦r≦a*cosθ(a>0)
と言う条件式が入ります。
これは円筒の内部（底面内）に当たる円内（中心(a/2,0),半径(a/2)）の内部の制限です。
この円筒底面の円内では、-π/2≦θ≦π/2がθの変域になります。
つまり
D⇒D'={(r,θ)|0≦r≦a*cosθ,a>0,-π/2≦θ≦π/2}
となります。これにより
V=∬[D'] {√(a^2-r^2)}|J|drdθ,ただし、ヤコビアン|J|=r
という積分に変数変換（極座標変換）されるわけです。

補足

コメントありがとうございます。

＞D⇒D'={(r,θ)|0≦r≦a*cosθ,a>0,-π/2≦θ≦π/2}
＞となります。これにより
＞V=∬[D'] {√(a^2-r^2)}|J|drdθ,ただし、ヤコビアン|J|=r
＞という積分に変数変換（極座標変換）されるわけです

,-π/2≦θ≦π/2と一気にやってもできません。
分割しても、できません。どこがまちがいでしょうか？

V=∬[D'] {√(a^2-r^2)}|J|drdθ,
=∫[-π/2、０]∫[r=0,r=acosθ]（ r）√(a^２-r^2) dr dθ
＝∫[-π/2、０]dθ∫[r=0,r=acosθ] [ （-１/3）｛（a^2－r^2)＾３/2｝] dr
＝a^3/3∫[-π/2、０]（1-sinθ＾３）dθ
＝a^3/3[（θ+cosθ-（１/3）cosθ＾３）[θ＝-π/2、０]
＝（a^3/３）（π/2+２/3）・・・・・（４）

となり、正解
（a^3/３）（π/2-２/3）が出てこない？
どこが間違いでしょうか？

回答No.4

info22

>・積分領域「-π/２、０」の場合
積分領域を定義する前に、いきなり積分領域が出てきて、良くない。
せっかくXY直交座標（デカルト座標）や極座標が定義されているのだから
それにのっとって変数変換した方が自然です。

それはいいとして、座標系とは無関係に新たな変則的な座標系を
ｒ＝acosθ
ｘ＝ｒcosθ
ｙ＝－ｒsinθ　…(■)
を定義した場合、この(r,θ)と(x,y)の変域（値域）の対応関係を
示す必要があります。
D⇒D'={(r,θ)|0≦r≦a,□≦θ≦△)
におけるθはどう定義されているのでしょうか？
これを定義を明示しないで、闇雲に積分を進めても適切な積分とは言えません。
変数θと被積分関数の符号関係が混乱しますので整理してはっきり書いてください。
辻褄あわせだけで積分して答だけあえばいいと言うのでは、関心できません。
この変換をするなら

また、式中の文字や記号は半角の英数字記号がある場合は、半角文字を使うようにして下さい（常識です）。回答者にとって、式が分かりづらく、扱いにくくて困ります。積分の範囲の書き方も、多くの回答者の書き方にあわせて書いてください。

■の変換をするならθの積分範囲が[π/2,0]となりませんか？
変数変換とD'の定義がはっきりしないため、次式が正しいかは別にして
>V=∫[π/2,0]∫[0,a*cosθ](-r)√(a^2-r^2)drdθ
この後の式は積分記号と積分後の式が同居しています。

次の式の書き方にしてください。
=∫[π/2,0]([(1/3){(a^2)-(r^2)}^(3/2)][0,a*cosθ])dθ
↑の式からお書きの式にはなりません。

={(a^3)/3}∫[π/2,0] {|sinθ|^3-1}dθ
={(a^3)/3}∫[0,π/2] {1-(sinθ)^3}dθ
これを計算すれば正解と同じ答になります。

『変数θの定義にあわせて、積分範囲を変更しないと、
　正しい結果が得られません。』

普通の置換をして積分範囲を[0,π/2]にして、それを2倍にすれば混乱しないで本来の体積Vが出せます。

なお、私が過去に解答した参考URLの質問の[1]の問題が
質問者さんの質問の体積の積分のa=1のケースに当たりますので、参考にして下さい。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4656950.html

補足

＞V=∫[0,π/2] {[(-1/3)(a^2-r^2)^(3/2)] [r:0,acosθ]}dθ
＞=(1/3)∫[0,π/2] [(a^3)-(a^3){1-(cosθ)^2}^(3/2)]dθ
＞=(1/3)∫[0,π/2] [(a^3)-(a^3){(sinθ)^2}^(3/2)]dθ
＞=(1/3)(a^3)∫[0,π/2] (1-sinθ^3)dθ
から正解が出ます。

これと帳尻を合わせるために
＞θ:[-π/2,0]でsinθ<0より|sinθ|=-sinθ、
勝手にこんなことをやってよいのだろうか？

回答No.3

e_o_m

[-π/2,0]の領域とは　x≧0,y≦0　を
[π/2,0]の領域とは　 x≧0,y≧0　をさしていっているのですが、混乱が生じないように予め確認しておきます。

先ほども述べたように、体積を求めたい領域はx-z平面に対して対称です。
ですので[-π/2,0]の領域と[π/2,0]の領域とは同じ体積を与えるので、
V=∫[0,π/2]∫[0,acosθ]√(a^2-r^2) rdrdθ
と計算しても
V=∫[-π/2,0]∫[0,acosθ]√(a^2-r^2) rdrdθ
と計算しても変わりません。

積分領域が[-π/2,0]だからといって
ｒ＝acosθ
ｘ＝rcosθ
ｙ＝-rsinθ
｜D|=-r
と計算していることで、いらぬ混乱を引き起こしています。
このように座標系をおいてθ：-π/2→0で積分することは、y軸正の方向から時計回りにx軸正の方向まで積分することに対応していますので、これは"負"の体積を与えます。
また上記の計算途中では
(1－(cosθ)^2)^3/2=(sinθ)^3
としていますけど、θが[-π/2,0]の範囲にあるので正しくは
(1－(cosθ)^2)^3/2= - (sinθ)^3
とマイナスがつきます。

このように余計な混乱を引き起こさないためにも、通常は
ｘ＝rcosθ
ｙ＝rsinθ
としてθが増加する方向に積分します。

回答No.2

Tacosan

多分, おかしいのは |D| = -r としたところと V=... の 2行目から 3行目の変形の 2つ.
確認だけど, V=... の最初の式は θ の積分範囲が -π/2 から 0, r の積分範囲が 0 から a cos θ でいい? そして, 2行目の最後の [r=0,acosθ] の意味は?

補足

コメントありがとうございます。
たしかにご指摘のヤコビアンは混乱したおります。

第四象限の計算なので

ｒ＝acosθ
ｘ＝ｒcosθ
ｙ＝-ｒsinθ
｜J|＝-ｒ

としましたが、極座標変換は
どこであっても

ｒ＝acosθ
ｘ＝ｒcosθ
ｙ＝ｒsinθ
｜J|＝ｒ
で計算するのでしょうか？

回答No.1

e_o_m

わざわざ積分領域「-π/２、０」としてややこしく考えなくても、図はx-z平面に対して対称なので
ｒ＝acosθ
ｘ＝ｒcosθ
ｙ＝ｒsinθ
｜D|＝ｒ
として0からπ/2にの範囲で積分して2倍すれば正しい答えが得られると思います。

補足

コメントありがとうございます。

しかし、問題は
・積分領域「-π/２、０」の部分の
体積を求めよと言う問題なので
やはりこの計算をせざるを得ないのです。