線積分の問題

質問

P＝（１，０）を始点、Ｑ=(-1，0)を終点とする曲線Ｃを次のように取る時それぞれの線積分
　　　　∫_ｃ｛（ｘ＾２＋ｙ＾２）ｄｘ＋ｘｄｙ｝
の値を求めよ。
(１)Ｃは原点中心、半径1の上半円
この問題ですが、ｘ=cosθ　y=sinθ　として解いたのですが、答えがπ／２－２になるのです。回答を見るとπ／２とかいてあるのですが。やはりπ／２なのでしょうか？

また、次は重積分なのですが
球x^2＋y^2＋z^2≦ａ^2と円柱x^2＋y^2≦axの共通部分の体積を求めるとき、自分はＶ＝２∬_D　（a^2-x^2-y^2）dxdy　D={(x、y)｜x^2+y^2≦ax}として解いたのですが、答えが違うのです。自分は２πa^3／３となるのですが。解答は、2／3（π―4／3）a^3なのです。
きちんと、曲座標に直して解いたのですが。解答は(5)＝４∬_D（a^2－x^2－y^2）dxdy　　D＝｛（x、y）|ｙ≧0，x^2＋y^2≦ax｝として解いていました。
解説お願いします。

回答No.4

Chararara · ベストアンサー

こんにちは。返事がかなり遅くなりました。
（気にはなってたんですけど、時間が無くて・・・）

２∫_－π／2~π／2　［－1/3（a^2-r^2）^3/2］_0~acosθ　dθ
＝(2a^2)/3∫_-π/2~π/2(1-(sinθ)^3)ｄθ
のところで、
(sin(^2)θ)^(3/2)　を　sin(^3)θ　とイコールに
したところが違うみたいです。

たとえば、
xが負のとき、(x^2)^(3/2)はx^3とイコールではないですよね？　前者は正ですけど、後者は負になってしまいます。

つまり、
∫_-π/2~π/2dθ (sinθ)^3=0
となってしまいますが、
∫_-π/2~π/2　dθ ((sinθ)^2)^(3/2)=4/3
となります。

グラフを描くとわかりやすいと思います。
説明が下手でスミマセン。

回答No.2

Chararara

たぶんおわかりかもしれませんが、
円柱の式は変形すると
(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2
となります。これより、円柱の中心が(a/2,0)にあって半径がa/2であうことがわかります。

そして円柱はxz平面について対称になってることがわかります。また球もxz平面について対称です。
このことから求める体積もxz平面について対称です。

ということは、
2∬_D　√（a^2-x^2-y^2）dxdy　D={(x、y)｜x^2+y^2≦ax}

はxz平面の両側の体積を求めていて、

2*2∬_D √（a^2－x^2－y^2）dxdy　　D＝｛（x、y）|ｙ≧0，x^2＋y^2≦ax｝

はxz平面のy≧0側の体積を二倍していることになります。

というわけで二つの解き方はまったく同じものです。

よくわかりませんが極座標に変換するところかどこかでずれてしまったのではないでしょうか？

参考になりましたか？
どうやって解いたのかわからないので、すみません。

補足

返事が遅れてすみません。Charararaさんのおっしゃように自分は解きました。
Ｖ＝２∬_D　√（a^2-x^2-y^2）dxdy　D={(x,y)|x^2+y^2≦ax}として、x=rcosθ
y=rsinθ　として－π／２≦θ≦π／２，０≦ｒ≦acosθ　として、(5)＝２∫∫√（a^2-r^2）ｒdrdθ　＝２∫_－π／2~π／2　［－1/3（a^2-r^2）^3/2］_0~acosθ　dθ＝(2a^2)/3∫_-π/2~π/2(1-(sinθ)^3)ｄθ＝2a^2/3∫｛1+1/4(sin3θー３sinθ)｝dθ＝2a^3/3[θー(1/12)cos3θ＋（3/4)cosθ]_-π/2~π/2＝2πａ^3/３
としたのですが、どこがいけないのでしょうか？4倍にしてやるのは理解できているのですが、どこがいけないのかがわからないのです。よろしくお願いします。

回答No.3

Chararara

たぶんおわかりかもしれませんが、
円柱の式は変形すると
(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2
となります。これより、円柱の中心が(a/2,0)にあって半径がa/2であうことがわかります。

そして円柱はxz平面について対称になってることがわかります。また球もxz平面について対称です。
このことから求める体積もxz平面について対称です。

ということは、
2∬_D　√（a^2-x^2-y^2）dxdy　D={(x、y)｜x^2+y^2≦ax}

はxz平面の両側の体積を求めていて、

2*2∬_D √（a^2－x^2－y^2）dxdy　　D＝｛（x、y）|ｙ≧0，x^2＋y^2≦ax｝

はxz平面のy≧0側の体積を二倍していることになります。

というわけで二つの解き方はまったく同じものです。

よくわかりませんが極座標に変換するところかどこかでずれてしまったのではないでしょうか？

参考になりましたか？
どうやって解いたのかわからないので、すみません。

回答No.1

Chararara

こんにちは。
一番目の問題は僕もπ/2-2になりました。これであってるんじゃないですか？

二番目の問題ですが、これは2/3(π-4/3)a^3になりました。
(2π(a^3)/3だと球の半分の体積ですね）
解き方はこんな感じです。

球と円柱の方程式は、それぞれ
x^2+y^2+z^2 = a^2 ...(1)
x^2+y^2 = ax ...(2)
と表される。

求める体積は(1)のzを、(2)の領域内でxとyについて積分したものである。つまり
4∫dxdy √(a^2-x^2-y^2)...(3)

ここでx,yの積分範囲は(2)の内部でy≧0の領域である。
4がついている理由はy,z≧0だけを積分しているため。

極座標
x=r cos(α),y=r sin(α)
を用いると(2)は
r=a cos(α)...(4)
となる。

それゆえ(3)の積分範囲は
r=0～a cos(α), α=0～π/2となり、(3)は
4∫dαdr r√(a^2-r^2)...(5)
と表される。

これを解くと、
=4∫dα (a^3)(1-(sin(α))^3)/3
=2(π-(4/3))(a^3)/3
となる。

補足

ありがとうございます。(２)は4倍ではなくて自分がやった2倍のやつではできないのでしょうか？自分がやったのはどこがいけないのか指摘してくれれば幸いです。