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重積分
問 xy平面において 連立不等式｛ 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 1/2x + 1｝ で表される領域をDとする。 重積分∮∮D(x^2 － y)dxdy の値を求めよ。 この答えが －1/3 になったのですがこれは正解ですか？
- Tatsu00117
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D={(x,y)|0<=x<=1,0<=y<=(x/2)+1} であれば 重積分 I=∬[D] (x^2 － y)dxdy= -1/3 で積分結果は正解です。 (∮∮は使いません) I=∫[0~1] dx ∫[0~(x/2)+1] (x^2 - y)dy =∫[0~1] dx [yx^2 -(1/2)y^2][y:0~(x/2)+1] =∫[0~1] {(x^3/2)+x^2 -(1/2)((x/2)+1)^2} dx =[(x^4/8)+(x^3/3) -(1/3)((x/2)+1)^3][0~1] =(1/8)+(1/3) -(1/3)((3/2)^3 -1) =(11/24) -(9/8)+(1/3) =(11-27+8)/24 = -1/3
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