線積分における完全微分性および積分路に対する独立性について

質問

ｃを経路とすると、
∫c {F1(x,y)dx+F2(x,y)dy}
について、∂F1/∂y=∂F2/∂x
が成り立つとき、F1(x,y)dx+F2(x,y)dyは完全微分であると言い、
∫c {F1(x,y)dx+F2(x,y)dy}は、経路に関係なく始点と終点
だけで決まるというようなことを習いました。

ここで、
∫c {F1(x)dx+F2(y)dy}
は、∂F1/∂y=∂F2/∂xが成り立つので始点と終点を指定して
積分すれば良いということになるのですが、
∫c {F1(x)dx+F2(y)dy}は、始点と終点を指定して
積分すれば良いということを「直接」偏微分で考えずに、
もっと初等的に、（線）積分の意味などから
考える方法はありませんか？

自分で考えてみたところ、「∫c F1(x)dx では、
F1はxの関数なので、xの値にのみ依存し、例え経路ｃ上の
座標(x,y)が(5,9)であろうと(5,3)であろうとxの値は5になるので、
∫c F1(x)dxは経路に依存せず、始点と終点を定めて計算すれば
良い」という説明になるのかな？と思いました。
たぶんこれは、∂F1/∂y=∂F2/∂xが成り立つことを間接的に説明
しているように思えるのですが…
この説明はこの説明で良いのでしょうか？

他の説明の仕方があれば教えてください。お願いします。

回答No.1

arrysthmia

＞「∫c F1(x)dx では、F1はxの関数なので、xの値にのみ依存し、

∫c { F1(x,y)dx + F2(x,y)dy } が、∫c { F1(x)dx + F2(y)dy } に
すり替わってしまったようです。
それでは、∂F1/∂y = ∂F2/∂x だけでなく、
∂F1/∂y = ∂F2/∂x = 0 を仮定したことになります。
∂F1/∂y ≠ 0 の場合が証明できていません。

証明のヒント：
ストークスの定理を２次元で使う。
http://www.k2.dion.ne.jp/~yohane/000suugaku51.htm

補足

>>∫c { F1(x,y)dx + F2(x,y)dy } が、∫c { F1(x)dx + F2(y)dy } に
>>すり替わってしまったようです。
すり替わったというか、僕は、一般的な
∫c { F1(x,y)dx + F2(x,y)dy }
ではなく、その特殊な場合である∫c { F1(x)dx + F2(y)dy }の場合は
どうなるのだろうか？と思って考えているのですが…