微分と積分の関係を説明する方法
- 微分と積分の関係を説明する際には、定積分を使用する理由を考える必要があります。
- 一方、不定積分では微分と積分の関係を十分に説明することができません。
- 定積分を使用することで、微分と積分の関係を明確に示すことができます。
- ベストアンサー
微分と積分の関係
微分と積分の関係を説明するときに、定積分を使うのはなぜですか? すなわち、 f(t)の原始関数の一つをF(t)として、 (d/dx)∫[a,x] f(t)dt=(d/dx){F(x)-F(a)}=F'(x)=f(x) (∫[a,x]は、下端がaで、上端がxです。) のように定積分を使って、微分と積分の関係を説明するのはなぜですか? 不定積分を使うのはだめなのでしょうか? すなわち、 f(x)の原始関数の一つをF(x)として、 (d/dx)∫f(x)dx=(d/dx){F(x)+C}=F'(x)=f(x) というふうにして、微分と積分が逆演算であることを説明するのはだめなのでしょうか? 個人的には、f(t)が出てきてよく分からなくなってしまう定積分の説明よりも、後者の説明の方がいいと思うのですが、どうなのでしょうか? とても困っています。 回答よろしくお願いいたします。
- mitofirsths
- お礼率83% (25/30)
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数4
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
実は「∫[a,x] f(t)dt」が不定積分の正確な表記なのです。しかし、いちいちそう書くのは面倒でもあり、∫ f(x)dxと書いてもいいのです(数学者のライプニッツが始めた記法)。 微分と積分の関係性の厳密な説明、定義ですから、できるだけ正確な表記となっているのでしょう。しかし、お考えのように「∫ f(x)dx」で理解して差し支えありません。何かの証明を書くときにだけ「「∫[a,x] f(t)dt」」を使っておくといいでしょう。 P.S. 不定積分を「∫[a,x] f(t)dt」と書くことから分かると思いますが、定積分が先にあって、それに沿って不定積分があります。歴史的にも面積を求めるために発達し、微積分学でも定積分を定義して、それを元に不定積分を定義することが多いようです(それぞれを独立に、あるいは不定積分を先に定義する流派もあるかもしれないが、私はよく知らないです、すみません)。
その他の回答 (4)
- titeiking2014
- ベストアンサー率25% (8/31)
不定積分でいいと思います。 歴史的な経緯はあるにせよ、不定積分でも意味は通じるし、説明としてわかりやすければいいでしょう。 ただし、不定積分は簡易的な表現のため、証明などで使用する場合は気をつけましょう。
お礼
なるほど、不定積分は簡易的な表現なのですね。 分かりました 回答ありがとうございました
- uyama33
- ベストアンサー率30% (137/450)
どちらも、不思議な証明に見えます。 (d/dx)∫[a,x] f(t)dt=(d/dx){F(x)-F(a)}=F'(x)=f(x) では、 ∫[a,x] f(t)dt={F(x)-F(a)} が使われていますが、これはすぐには使えない。 f(x) が連続とする、 (d/dx)∫[a,x] f(t)dt = lim [h→0] {∫[a,x+h] f(t)dt - ∫[a,x] f(t)dt}/h {∫[a,x+h] f(t)dt - ∫[a,x] f(t)dt}/h ={∫[x,x+h] f(t)dt}/h の値は、 m = min f(y), M= maxf(y) (x<= y <=x+h) としたとき、 m と M の間に入る。 h→0 のときに、m も M もf(x) に近づく。 よって、(d/dx)∫[a,x] f(t)dt=f(x) よって、f(x) が連続ならば微分して f(x) になるような関数が存在する、 これが、∫[a,x] f(t)dt である。 と言うように話を進めないと、何を仮定して何を証明するのかが分からなくなる。 その記号で書かれるものが存在するか否かは簡単には示せない。 たとえば、 ∫f(t)dt 不定積分(微分してf(x)になるもの) ですが、無理数では1、有理数では0の値をとる関数f(x) の不定積分は何か? ここでは、f(x) の連続性を中心に学習する所だと思います。
お礼
すみません、私は今数IIを勉強していまして、その途中で出てきた公式だったので連続関数等はよく分からないのですが... 数IIIまで学習が進んでから改めて貴方のご回答を読ませていただこうと思います。 回答ありがとうございました
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
後者を使うときの最大の問題点は 「原始関数」ってなんだ というところにあります. ちなみに歴史的にいうと定積分と不定積分は完全に別々に発達しています. つまり「面積 (など) を求める定積分」と「微分の逆演算としての不定積分」とはもともと無関係でした.
お礼
なるほど、そこが問題なのですね! 回答ありがとうございました
- mmmommo
- ベストアンサー率23% (9/38)
後者でいいのでは・・・ 前者のほうが図で説明しやすいのかな?
関連するQ&A
- 定積分と微分の関係?
F(x)=∫f(t)dt (定積分の区間は下端a、上端x)⇔F'(x)=f(x)かつF(a)=0 を証明する。 (→)d/dx・∫f(t)dt (定積分の区間は下端a、上端x)=f(x) かつF(a)=∫f(t)dt (定積分の区間は下端a、上端a)=0 であるから容易に証明される。 (←)F'(x)=f(x)であるからF(x)は不定積分の1つであり ∫f(x)dx=F(x)+C(Cは積分定数) またF(a)=0であるから ∫f(t)dt (定積分の区間は下端a、上端x)=[F(t)] (定積分の区間は下端a、上端x)=F(x)-F(a)=F(x) よって証明された。 とかいてあったのですがどういう意味なのかわからないんです!! 教えてください!!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二重積分の微分(統計より)
統計のRANGEの分布の関数を求める際に、二重積分の微分が含まれています。 通常の定積分の微分(積分を上端の変数で微分するとき) F´(x)=f(x)のとき d/dx∫f(t)dt(範囲は下端は定数a,上端はx)の時 ⇒d/dx[F(x)-F(a)]=d/dxF(x)(∵d/dxF(a)=0)=f(x) となることはわかります。 これが二重積分の場合 u0≦u≦v0、u≦v≦v0(u≦vの条件下)とするときの関数g(u,v)の二重積分の微分は(u0とv0は任意の値なので,v0を固定して,u0に対する微分を行う) d/du0∬g(u,v)dvdu=∫g(u0,v)dvとなりその下端、上端は(u0,v0)となっています。 (1)まず、二重積分の微分法に関して何か情報があればご教示いただけますでしょうか(例:積分の上端の変数で微分するときの公式等) (2)次に、上記の二重積分の微分に対する解答方法をご教示いただけますでしょうか(特に微分した後の積分の下端が(u,v0)から(u0,v0)になるのがよくわかりません) 以上、よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 偶関数、奇関数の定積分の式変形について
X=-tとおくと、dx=(-1)dt Xが-a→0のとき、tはa→0 下端-a、上端0の定積分∫f(x)dxは =下端0、上端aの定積分∫f(t)dtと変形できる。 ここまでは分かるのですが、そのあと =下端0、上端aの定積分∫f(x)dxと変形できてしまう理由が分かりません。 tの関数からxの関数に戻したとき、上端と下端の値も変わってしまい、もとの式にもどってしまいます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分・積分 問題
微分・積分 問題 F(x)=∫[a→-x^2]f(t)dtのときd/dxF(x)を求めよ。 f(t)の原始関数の一つをF(t)とする。 ∫[a→-x^2]f(t)dt=[F(t)][a→-x^2]=F(-x^2)-F(a) d/dx(F(-x^2)-F(a)) -x^2=sとおくと、ds/dx=-2x→dx=ds/-2xである。 F(s)を微分した関数をf(s)とする。→これは、必要ですか? d/(ds/-2x)(F(s)-F(a))=-2x・d/ds(F(s)-F(a)) =-2xf(s)=-2xf(-x^2) 答えは合っているでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分・積分 問題
微分・積分 問題 d^2/dx^2(∫[0→x](x-t)f(t)dt)=f(x)を証明せよ。 x・∫[0→x]f(t)dt-∫[0→x]t・f(t)dtとしました。 上の式を積分して、2回微分しようと考えているのですが、 ∫[0→x]t・f(t)dtが分かりません。 d/dx(x・∫[0→x]f(t)dt)-d/dx(∫[0→x]t・f(t)dt)と1回微分して、さらにもう一度微分を行うと、d/dx(∫[0→x]f(t)dt+xf(x)-xf(x)) よって、d/dx(∫[0→x]f(t)dt=f(x) 解き方は合っているでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
不定積分の正確な表記だなんて全く知りませんでした! 詳しくご回答ありがとうございました。