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微分と積分の関係
実数全体で定義された連続関数f(x)に対してg(x)を g(x)=∫【0→x】t*f(x-t)dt で定めます。このとき、g'(x)=∫【0→x】f(t )dt となるそうなんですが、なぜこうなるのかわかりません。以下の定理を参考 にして教えてくださるとありがたいです。 【微分積分の基本定理】 関数F(x)=∫【a→x】f(t)dt は微分可能であり、 (d/dx)F(x)=f(x)
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g(x)=∫【0→x】t*f(x-t)dt =∫【x→0】(x-y)*f(y)(-dy) (x-t=yとおく) =∫【0→x】(x-y)*f(y)dy =x ∫【0→x】f(y)dy -∫【0→x】y*f(y)dy g'(x)=∫【0→x】f(y)dy + x*f(x) - x*f(x) ←第2項と第3項に対して、定理を適用 =∫【0→x】f(y)dy =∫【0→x】f(t)dt ←積分変数をyからtに変更
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