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線積分の問題
線積分の問題がどうしても解けません。詳しい方いらっしゃいましたら、ご助言宜しくお願いします。 (1)∫c y^2 dx + x^2 dy C: x=cost y=sint (t: 0→π) そのまま代入して計算し、∫0→π -sint^3 + cost^3 dt という部分まで辿り着いたのですが、この先が計算できません。 やり方が違うのでしょうか。 (2)∫c (e^x + y)dx + (y^4 + x^3)dy (Cは単位円の周を時計の逆回りに１周したもの） グリーンの定理で重積分に帰着し、∬D 3x - 1 dxdy とまで来たのですが、cos sinを使って範囲設定するとよく分からなくなってしまいました。
- knight6625
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∬D 3x^2- 1 dxdy x=rcosθ y=rsinθ =∬D {3(rcosθ)^2-1}rdrdθ =∬D {3/2r^2(1+cos2θ)-r}drdθ =∬D {3/2r^3+3/2r^3cos2θ-r}drdθ =∬D {3/2r^3-r}dr =3πr^4/4-2πr^2/2 =3π/4-π=-π/4
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- Meowth
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∫c (e^x + y)dx + (y^4 + x^3)dy dx=-sintdt dy=costdt =∫c (e^cost+sint)(-sintdt) + (sint ^4+ cost^3)(cost) =∫c (-sint e^cost-(sint)^2)dt+{(sint)^4cost+ cost^4}dt ∫-sint e^costdt=e^cost →0 ∫((sint)^2dt=∫(1-cos2t)/2dt=t/2-sin2t/4→π ∫sint^4costdt=(sint)^5/5 →0 ∫cost^4dt=sin4t/32+sin2t/4+3t/8→3π/4 =-π+3π/4=-π/4
- Meowth
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∫c y^2 dx + x^2 dy C: x=cost y=sint (t: 0→π) dx=-sintdt dy=costdt ∫c y^2 dx+ x^2 dy=-∫c (sint)^2 sintdt+ (cost)^2 costdt =∫c (1-(cost)^2)(-sint)dt+ ((1-(sint)^2)costdt =[cost-1/3(cost)^3+sint-1/3(sint)^3] 0→π ={[-1-(-1)^3/3+0-(0)^3] -[1-(1)^3/3+0-(0)^3/3] } =-2/3 -2/3 =-4/3 ちなみに、対称性からx^2 dyは明らかに０ ∫c y^2 dx は 2∫c y^2 dx(t: 0→π/2） =2[cost-1/3(cost)^3] 0→π/2
- endlessriver
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定義をよ見るとよいです。 (1)はじめの項はxが変化するとyは√(1-x^2)と変化しますから ∫[-1,1](1-x^2) dxですね。もちろんあなたの式もx=costの変数変換すれば解けます。 (2)時間がないので 、∬D (3x^2 - 1) dxdyのミスを指摘するだけに。どの解法がよいか未検討ですが、この解法も２重積分をみれば簡単かと。
お礼
お礼が遅れて申し訳ありません。そしてお忙しい中回答ありがとうございました。とても参考になりました。
- A-Tanaka
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(1)∫c cos^2(t)+sin^2(t) dt = ∫dt = π なぜならば、cos^2(t)+sin^2(t) = 1 (2)は、原始関数を求めてしまっているようです。そのまま、通常の積分をして、そのまま区間代入すればよいです。 参考文献：高木貞二(著), 解析概論, pp.380-385, 岩波書店, 1983
お礼
ありがとうございます。参考にさせていただきました。
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