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数学の問題がよくわかりません。弧長を求める問題です。
数学の問題がよくわかりません。弧長を求める問題です。 まず、Ｃを画像の通りとおきます。tは０から2πまでが範囲です。 （１）Ｃの弧長を求めよ （２）線積分を求めよ。 という問題です。（２）は画像の積分らしいです。 この問題がわかりません。どのように解けばよいのでしょうか？ （１）はxもyもtで微分して dx/dt = -3sint(cost)^2 dy/dt = 3cost(sint)~2 弧の長さをＳとすると Ｓ=∫[0から2π]√{( (dx/dt)^2 )+( (dy/dt)^2) }dt （{}はルートの中です。） となると思います。 しかし、このあとどのように計算すればよろしいのでしょうか？ Ｓ＝∫[0から2π]√{9((sint)^2)((cost)^2)}dt ここからどのようにルートを取ればよいのでしょうか？ 絶対値をつけて出してみると０になってしまいます。。 （２）はどのように解くのでしょうか？ 線積分の式にxとyをそれぞれ代入するところまでしかわかりません・・・・
- enotake
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Aの置き方を、テキトーにやりすぎました・・・。 正しくは（今度こそ正しいはず・・・）以下の通りです。 与式=iint[D]2dxdy=Dの面積の2倍=Cに囲まれた部分の面積の2倍=A. A =2×4×1/2int[0,π/2]9c^4s^2+9c^2s^4dt =12int[0,π/2]c^2s^2dt =3π/4.
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- Anti-Giants
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間違えました。 最後の計算は3π/4になるはずです。
- Anti-Giants
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cos(t)=c,sin(t)=s、と略記。 x=c^3. y=s^3. dx/dt=-3c^2s. dy/dt=3cs^2. (1) L =int[0,2π]root{9c^4s^2+9c^2s^4}dt =int[0,2π]3|sc|dt =12int[0,π/2]scdt =6 (2) グリーンの定理 iint[D](∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=int[∂D](Pdx+Qdy) ∂DはDの境界のこと。 この場合、D=CとCの内部、P=-y、Q=x、とした右辺が与式。 ∂Q/∂x=1. ∂P/∂y=-1. 与式=iint[D]2dxdy=Dの面積の2倍=Cに囲まれた部分の面積の2倍=2A. A =1/2×4×1/2int[0,π/2]9c^4s^2+9c^2s^4dt =3int[0,π/2]c^2s^2dt =3π/16. こんな感じです。検算してない。
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