円と直線の交差する範囲(重積分)の考え方
- 円と直線の交差する範囲(重積分)の考え方について詳しく教えてください。
- 積分範囲を円の方程式と1次関数で表す場合、どのように考えれば良いのでしょうか?
- 累次積分で表現できるかどうかも教えていただけますか?
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円と直線の交差する範囲(重積分)
重積分の範囲が、円の方程式と1次関数になっている場合の考え方をご教授願います。 ∬ y dxdy 積分範囲 x^2+y^2≦4 かつ y≧2-x x^2+y^2≦2^2 より、原点を中心とした半径2の円が考えられます。 極座標でx=rcosθ, y=rsinθとすれば、0≦r≦2 , dxdy=r drdθ 又、y=2-x のグラフは点(0,2)と点(2,0)で円周と接するので、 積分範囲は半径2の円の第一事象の部分 [0≦θ≦π/2かつ0≦r≦2] から [0≦x≦2かつ0≦y≦2-x] を引いた範囲が積分範囲と考えて良いのでしょうか? つまり、∫[0 2]dr∫[0 π/2] rsinθr dθ-∫[0 2]dx∫[0 2-x] y dy の式に累次積分できるんですかね? お手数をお掛けいたしますが、ご指導願います。
- izayoi168
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>∫[0 2]dr∫[0 π/2] rsinθr dθ-∫[0 2]dx∫[0 2-x] y dy >の式に累次積分できるんですかね? もちろん、合っています。計算すると 「I=8/3-4/3=4/3」 と正しい結果が得られます。 普通は、どちらか一方の座標系の累次積分(逐次積分ともいう)で表して積分します。 xy座標による累次積分で表す方法 I=∫[0→2] dx∫[(2-x)→√(4-x^2)] ydy =∫[0→2] {[y^2/2](y=√(4-x^2))-[y^2/2](y=2-x)} dx =∫[0→2] {(4-x^2)/2-(2-x)^2/2} dx =(1/2)∫[0→2] {(4-x^2)-(2-x)^2} dx =(1/2)∫[0→2] {(4-x^2)-(4-4x+x^2)} dx =(1/2)∫[0→2] (4x-2x^2) dx =∫[0→2] (2x-x^2) dx =[x^2-x^3/3] (x=2) =4-8/3=4/3 極座標による累次積分で現す方法 y=2-x→rsinθ=2-rcosθ→r=2/(sinθ+cosθ) なので I=∫[0→π/2] dθ∫[2/(sinθ+cosθ)→2] rsinθ*rdr =∫[0→π/2] sinθ{[r^3/3](r=2)-[r^3/3](r=2/(sinθ+cosθ))} dθ =(1/3)∫[0→π/2] sinθ{8 -8/(sinθ+cosθ)^3} dθ =(8/3)∫[0→π/2] {sinθ -sinθ/(√2sin(θ+π/4))^3} dθ = … (途中計算略) =(8/3){1-(1/2)} =4/3
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- WiredLogic
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考え方は、そういうことで問題ないと思いますが… 実際の計算は、積分範囲が、0≦x≦2, 2-x≦y≦√(4-x^2) になり、 幸い、被積分関数が y で、積分すると、y^2/2 ですから、 素直に、∫[0,2]dx ∫[2-x, √(4-x^2)] ydy とやっても、計算は簡単で、 極座標変換する場合も、、 ∫[0,2]dx ∫[2-x, √(4-x^2)] ydy = ∫[0,2]dx ∫[0, √(4-x^2)] ydy - ∫[0,2]dx ∫[0,2-x] ydy と分けてから、前の方だけを極座標変換、とやれば、疑問感じる余地が少なくなりそうです。
お礼
先日に続き、お世話になります。 さっそく教えていただいた解法を試してみます!
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お礼
すごくわかりやすいご解説、ありがとう御座います。 ”解析学のまとめノート”に書き写させていただきます!