重積分の積分範囲と解説
- 重積分の積分範囲について説明します。
- 具体的な問題の解法として、極座標変換を使用する方法を紹介します。
- 質問者が示した範囲は正しくありません。正しい範囲の出し方を解説します。
- ベストアンサー
重積分の積分範囲について。
重積分の積分範囲について。 質問させて頂きます。 ------------問題----------------- 以下の積分をせよ。 ∬D √x^2+y^2 dxdy D = {(x,y)|x^2+y^2 <= 2x} --------------------------------- 自分なりに考えてみました。 範囲 D より、(x-1)^2+y^2 <= 1 となり、 0 <= x <= 2 , -1 <= y <= 1 -(1); 次に極座標に変換する。 x=rcosθ , y=rsinθ とおく。 (1)より、0 <= θ <= π/2 , 0 <= r <= 1 (範囲 E とする。) よって、(与式) = ∬E r^2 drdθ ・・・・・以下省略・・・・ A. π/6 となったのですが、積分範囲に自信がありません。やっていいか分からない式変形をして。範囲を出したので、正しい範囲の出し方を教えてもらいたいです。これで合っているでしょうか。 分かる方、解答お願いいたします。
- m3026023
- お礼率14% (2/14)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 重積分の問題なのですが・・・。
重積分の問題なのですが・・・。 ∬(y-6)(x^2+y^2)^(1/2)dxdy 積分区間はx^2+y^2<=4です。 x=rcosθ, y=rsinθとおいて、積分区間の条件より 0<=r<=2, 0<=θ<=2πとおける さらにこのときdxdy=rdrdθとなる 与式=∫[o<-2π]∫[0<-2]{rsinθ-6)(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)^(1/2)}rdrdθ =∬{(rsinθ-6)r^2}drdθ =∫[1/4sinθr^4-2r^3](0<-2)dθ =∫(4sinθ-16)dθ =[-4cosθ-16θ](0<-2π) =(-4-32π)-(-4) =-32π とマイナスになってしまいました、どこが間違えているのでしょうか？ すみませんがよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円と直線の交差する範囲(重積分)
重積分の範囲が、円の方程式と1次関数になっている場合の考え方をご教授願います。 ∬ y dxdy 積分範囲 x^2+ｙ＾2≦4 かつ y≧2-x x^2+ｙ＾2≦2^2 より、原点を中心とした半径2の円が考えられます。 極座標でx=rcosθ, y=rsinθとすれば、0≦ｒ≦2 , dxdy=r drdθ 又、ｙ=2-x のグラフは点(0,2)と点(2,0)で円周と接するので、 積分範囲は半径2の円の第一事象の部分 [0≦θ≦π/2かつ0≦ｒ≦2] から [0≦x≦2かつ0≦ｙ≦2-ｘ] を引いた範囲が積分範囲と考えて良いのでしょうか？ つまり、∫[0 2]dr∫[0 π/2] rsinθr dθ-∫[0 2]dx∫[0 2-x] y dy の式に累次積分できるんですかね？ お手数をお掛けいたしますが、ご指導願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極座標による重積分の範囲の取りかた
∬[D] sin√(x^2+y^2) dxdy D:(x^2 + y^2 <= π^2) を極座標でに変換して求めよ。 という問題で、 x = rcosθ、y = rsinθ とおくのはわかるのですが、 rとθの範囲を、どのように置けばいいのかわかりません。 x^2+y^2 = (rcosθ)^2 + (rsinθ)^2 = r^2{(cosθ)^2 + (sinθ)^2} = r^2< = π^2 とした後、-π =< r =< π としたのですが、合っているのでしょうか？ rとθの範囲の取りかたを教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極座標を用いた重積分
極座標を用いて重積分をし、最終的に広義積分を求める問題なのですが、非常に煩雑でどうも手がつかないので、教えていただけると助かります。 ∬[D]exp(-px^2-qy^2)dxdy (p,q>0) D={(x,y);x≧0, y≧0} というものです。 x=rcosθ,y=rsinθ と極座標表示をし、積分区間を 0≦r≦R, 0≦θ≦π/2 として積分をし、R→∞とすれば求まるのはわかるのですが、pやqがあるせいで、変数変換をしてもexpの中にθとrが混在しているので、どうやっていいのか途方に暮れています…。 よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 極座標の重積分の範囲について
∬√x dxdyを D:y>=0,x^2+y^2<=2x の範囲で解け、という問題があります。 範囲Dについては、(x-1)^2+y^2<=1と変形されることはすぐにわかったのですが、果たしてこの範囲は、通常の中心が原点の円と考えて積分可能なのでしょうか？ 極座標に変換しても、0<=θ<=πまでで、rをどのように範囲をとったらよいのかよくわかりません。 さらに、この問題は極座標に変換しても√rcos(θ)が積分の中に出てきます。いくらがんばっても√cos(θ)の積分が求まりませんでした。 はたしてどのようにとけばよいのでしょうか？よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の計算について
以下の重積分の解き方がわからず、困っています。 x=rcosθ,y=rsinθを使えばいいのかなとは思ったのですが、 具体的にどう処理すればいいのかわかりません。 申し訳ありませんが、考え方だけでもご指導お願いできますでしょうか。 【問題】 次の計算をせよ。すなわち、2重積分または類次積分の値を求めよ。 D={(x,y) | 0≦x, 0≦y, x^2+y^2≦1} ∫∫D (y) dxdy 以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。
重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。 球面x^2+y^2+z^2=a^2の円柱x^2+y^2=axで切りとられる部分の曲面積を求めよ（a>0) 自分の解法は z(>0)について解いてz=√（a^2-x^2-y^2）,積分領域D:x^2+y^2＜＝axの上にある曲面積を２倍して Zx=-x/(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より 求める曲面積s=２∬D √（１＋Zx^2＋Zy^2)dxdy ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くとJ=r,積分領域DはM:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2 S=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ）ar/√(a^2-r^2)drdθ =2a^2[θ＋cosθ](-π/2→π/2)=2a^2π となったのですが、解答は D:x^2+y^2＜＝a^2,y>=0の上にある曲面積を４倍して求めていて、 S=４∫∫D a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy ここでx=rcosθ,y＝rsinθと置いて、M:０<=r<=acosθ,0<=θ<=π/2 S=4∫（０→π/2)∫(0→acosθ）r/√(a^2-r^2)drdθ =4a^2[θ+cosθ](0→π/2)=4a^2(π/2-1) となって答えが違ってしまうのですが、何故だかわかる方がいたら助けてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
