基底の定義について

質問

基底の定義について

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E5%9F%BA%E5%BA%95%E3%81%A8%E6%AC%A1%E5%85%83
（基底の定義）

基底の定義に、「(１)と(２)を満たすとき～基底であるという」とありますが、(２)は必要なのでしょうか？
e1,…,enが線形独立ならば、任意のVの元は必ず、e1,…,enの線形結合で表されるのではないでしょうか？
同じ理由により、次元が「線形独立なベクトルの数」ではなくて、「基底の個数」である理由も疑問です。

線形独立の定義（自明解０のみ）の確認だけでは、それが基底であるとは言えないということなのでしょうが、何故でしょうか・・・？

以前から、この線形独立と基底の差異が頭の中ですっきりしないので、よろしくお願いします。反例などがありましたら、教えてください。

回答No.1

Kules · ベストアンサー

私自身もこの辺りは少しあいまいなのですが、
つまりこういうことではないでしょうか？

「
３次元のベクトル空間Vにおいて、
e1=(0,0,1),e2=(0,1,0)の時、
この２つは線形独立であるが、
この２つのみではV任意の元を表すことができない。
したがって、e1,e2はVの基底ではない。
」
こういうのを考える時、よく線形従属になるパターン(次元＜基底の数)を想定しますが、
基底の数が次元に足らない時というのもあると思います。

以上、参考になれば幸いです。

お礼

なるほど、その反例がありましたか。
ありがとうございます。

「次元＝基底の個数」は定義なので、必ず成り立ち、それ以外はありえないと思います。
上回答の例ですと、e1,e2だけでは基底とは言えないと思うのですが・・・。
なので、基底の個数が２とはそもそも言えないので、その例の場合は、次元と基底の個数を比較することはできませんよね・・・？

間違ってたらすみません。

回答No.4

alice_44

＞ 同じ理由により、次元が「線形独立なベクトルの数」ではなくて、「基底の個数」である理由も疑問です。

かなり多くの人が引っ掛かる点ではないかと思うが、それは、恐らく
口では「線形独立なベクトルの数」と言いながら、
心の中では「(その空間に含まれる最大の)線形独立なベクトルの数」と
勝手に字間を補って読んでいるから、「基底の個数」と同じになってしまうのだろう。

「線形独立なベクトルの数」と「その空間に含まれる最大の線形独立なベクトルの数」
の違いについては、A No.1 に指摘されている通り。
「線形独立なベクトルの数」は、ベクトルの組が基底でなくても定義され、
あの例の { e1, e2 } については 2 であって、R^3 の基底の数 3 とは一致していない。

お礼

なるほど、よく分かりました。
線形独立なベクトルの数と規定の数は必ずしも一致しないと言う事ですね。

回答No.3

178-tall

確かにトリッキーな定義かも。
目を転じて「一言でいえば…」のあとを眺めると、その通りでもある。

おそらく、その定義での n は次元と無関係な数を指しているのです。
n 個の線型独立なベクトルがあり、任意の元がその線型結合で表わされるなら、その n が次元、と読めば良さそう。

お礼

ようやく分かりました、ありがとうございます。

回答No.2

Kules

Kulesです。
すみません、最後の一文が誤解を招く表現でしたね。
「」の中に書いたとおり、e1,e2はVの基底ではありません。
最後の一文ですが、
「線形独立なベクトルを自分で適当に用意した場合、その個数が次元よりも小さければそれを基底とは呼ばない」
というニュアンスで書いたつもりでしたが改めて読むとそうはなってないですね（笑）
以上、参考になれば幸いです。