基底ベクトル 標準基底 正規直交基底 基本ベクトル

質問

基底ベクトルについて質問させて下さい。

基底の定義は、
V（Vは体K上の線形空間とする）のVの元であるベクトルの組｛v1,v2,v3,・・・vn｝が、
線形結合で表され、v1,v2,v3,・・・vnがそれぞれ一次独立である場合を基底という。
基底の数は無数に存在する。基底を構成するベクトルを基底ベクトルと呼ぶ。

例えばR^2の基底は、
（1,0），（0,1）や（1,0），（1,1）などである。

以上のように理解しています。
ここまでで、間違いはありますでしょうか？

R^2における基底で、
（1,0），（0,1）は特に標準基底、正規直交基底などと呼ばれます。
また、基本ベクトルと呼ばれることもあります。
このR^2における（1,0），（0,1）は一般的にはどのように呼ばれる
のでしょうか？
基本ベクトルと呼ぶのは、あまり一般的ではないでしょうか？
標準基底・正規直交基底と呼ぶ方が一般的なのでしょうか？
分野によって使われる言葉も違うと思いますが、ご教示下さい。

また、単位ベクトルについても教えて下さい。
単位ベクトルの定義は、ベクトルの長さ（ノルム）が1になるベクトルと理解しています。
（1,0）や（1,0,0），（0,1,0）は単位ベクトルですが、
（-1,0,0）もノルムが1のベクトルになると思います。
（-1,0,0）も単位ベクトルと言って良いのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

MagicianKuma · ベストアンサー

>ベクトル同士が直交しています。
>これも直交基底に必要な条件なのでしょうか？
もちろんです。直交しているから直交基底と呼ぶのです。

>{(1,0),(1,1)}は直交基底という認識で良いでしょうか？
違います、直交していません。直交とは内積が0のこと。直感的にはなす角度が90度のこと。
{(1,0),(1,1)}は単に基底の一つです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
全て理解できました。

ありがとうございました。

回答No.2

MagicianKuma

>{(1,0),(0,1)}は標準基底。
>{(1,0),(0,-1)}は正規直交基底。
>{(1,0),(0,2)}は直交基底。
>という認識で良いでしょうか？
良いと思います。が
{{√3/2,1/2),(-1/2,√3/2)} なども正規直交基底
{(-3,3),(8,8)} なども直交基底です。
対して、標準基底はその次元で1つしかありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

理解できました。

補足

ご回答ありがとうございます。

ご回答頂いた内容を整理していたところちょっと疑問に思った事が
ありましたので追加質問させて下さい。

{{√3/2,1/2),(-1/2,√3/2)}や{(-3,3),(8,8)} はすべて原点を中心に
ベクトル同士が直交しています。
これも直交基底に必要な条件なのでしょうか？
{(1,0),(1,1)}は直交基底という認識で良いでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

MagicianKuma

>基底の定義は、
>V（Vは体K上の線形空間とする）のVの元であるベクトルの組｛v1,v2,v3,・・・vn｝が、
>線形結合で表され、v1,v2,v3,・・・vnがそれぞれ一次独立である場合を基底という。
>基底の数は無数に存在する。基底を構成するベクトルを基底ベクトルと呼ぶ。
正しい理解です。

>例えばR^2の基底は、（1,0），（0,1）や（1,0），（1,1）などである。
微妙です。{(1,0),(0,1)}や{(1,0),(1,1)}などもR^2における基底である。が良いでしょう。

>R^2における基底で、（1,0），（0,1）は特に標準基底、正規直交基底などと呼ばれます。
"{"、"}"を付けましょう。{(1,0),(0,1)}は標準基底と呼ばれます。正規直交基底の一つです。
>また、基本ベクトルと呼ばれることもあります。
この基底ベクトルを基本ベクトルと呼ぶこともあります。

>また、単位ベクトルについても教えて下さい。
>単位ベクトルの定義は、ベクトルの長さ（ノルム）が1になるベクトルと理解しています。
正しい理解です。
>（-1,0,0）も単位ベクトルと言って良いのでしょうか？
単位ベクトルです。(R^3上の）

その他
直交基底はその全ての基底ベクトルが互いに直交しているもの。（ベクトルの大きさは1とは限らない）
正規直交基底は直交基底でその基底ベクトルが全て単位ベクトルのもの。
基本ベクトルとは成分表示したとき、一つの成分のみ1でその他の成分が0のもの。
標準基底とは基本ベクトルで構成された基底。（正規直交基底になります）。

標準基底⊂正規直交基底⊂直交基底⊂基底

補足

ご回答ありがとうございます。

標準基底は正規直交基底の一つということですが、
両者の違いはなんでしょうか？

R^2において、
{(1,0),(0,1)}は標準基底。
{(1,0),(0,-1)}は正規直交基底。
{(1,0),(0,2)}は直交基底。
という認識で良いでしょうか？

標準基底⊂正規直交基底⊂直交基底⊂基底
に当てはまると認識しています。

以上、ご回答よろしくお願い致します。