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EはK-線形空間とA、Bの基底から

EはK-線形空間。Eの部分空間｛a_1,a_2,…,a_m｝,｛b_1,b_2,…,b_n｝をそれぞれA、Bの基底として、 １：A∩B＝｛0｝ 2：｛a_1,…,a_m,b_1,…,b_n｝は一次独立 この1と2が同値と示せますか？

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  • tmpname
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回答No.1

少し問題文として意味不明なところがあるけど （「A, BはEの部分空間、｛a_1,a_2,…,a_m｝, ｛b_1,b_2,…,b_n｝はそれぞれA, Bの基底」とでも書いておかないと意味不明ですよね）、方針としては * 2->1 A∩B ∋ v ≠ 0 として、vは｛a_1,a_2,…,a_m｝, ｛b_1,b_2,…,b_n｝それぞれの一次結合として書く書き方があるから、そこから｛a_1,…,a_m,b_1,…,b_n｝が一次従属である事を示せば良い。 * 1-> 2 ｛a_1,…,a_m,b_1,…,b_n｝が一次従属であるなら、a_iたちの中のどれかはその他のa_iたちとb_jたちの一次結合で書ける（ことを示す）。そこから、（a_iたちのある一次結合) = (b_jたちのある一次結合）という式が導かれることを示し、A∩B ∋ v ≠ 0なるvがあることを示す。

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