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実数解をもつ・・・？

数１の青チャート重要例題94で 実数x,yがx^2+y^2=4を満たしながら変化するとき 2x+yの取り得る値の最大値と最小値を求めよ。 とあるのですが、解答で実数解を持つ条件からDは0以上としています。 この実数解をもつという条件はどこから分かるのでしょうか？

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noname#29493
noname#29493
回答No.3

ごめん。もっと的確に述べると 問題は 実数x,yがx^2+y^2=4を満たしながら変化するとき 2x+yの取り得る値の範囲を求めよ。 ということだよね。 いいかえると、2x＋y=kとしたとき 「実数xがx^2＋(k-2x)^2-4=0を満たすとしたとき kの値の範囲を求めよ。」 と言い換えられるのは分かる？こういうことなんだよ。 そうすると xがx^2＋(k-2x)^2-4=0⇔5x^2-4kx＋k^2-4=0を満たし、 　(ここまでは同じで、ここから分かりやすくするため訂正します。) もしも5t^2-4kt＋k^2-4=0のtについての実数解をもたないことを考えると どんな実数tに対しても5t^2-4kt＋k^2-4＞0で5t^2-4kt＋k^2-4≠0 これはt=xのとき5x^2-4kx＋k^2-4=0を満たしていることに矛盾するので 5t^2-4kt＋k^2-4=0はtについての実数解をもたなくてはいけないことが分かった。そして5t^2-4kt＋k^2-4=0はtについての実数解をもち 5t^2-4kt＋k^2-4=0となるようなtをxとする。 そうすると5t^2-4kt＋k^2-4=0はtについての実数解をもつので 判別式D≧0として以降考えましょうということだ。 こっちが本当の回答です。

macopaaa
質問者

お礼

なるほど！とても丁寧に有り難うございました！ 非常に分かりやすかったです＾＾

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その他の回答 (4)

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.5

> この実数解をもつという条件はどこから分かるのでしょうか？ 2x+y=kと置くとき、(x,y)が円x^2+y^2=4…(2)上の点である条件、つまり(2)を満たす実数x,yが存在する条件から、kのとりうる範囲が求まります。kの範囲からkの最大値と最小値が出ます。 直線　y=k-2x…(1)と円x^2+y^2=4…(2) が共有点(x,y)をもつこと、つまり、 (1)を(2)に代入して導かれるxの２次方程式 x^2+(k-2x)^2=4 変形して　5x^2-4kx+k^2-4=0…(3) が実数解を持つようなkの範囲を求めれば、 実数のxと(1)からyが決まり共有点が存在することになる。 (3)の２次方程式の実数条件(交点が存在する条件)から 判別式D/4=(2k)^2-5(k^2-4)=20-k^2≧0 これから　-2√5≦k≦2√5 求めるk=2x+yの最大値は2√5、最小値は-2√5 最大値、最小値のkを直線(1)と円(2)の式に代入すれば、最大と最小になる時の実数の組(接点座標）が出てきます。

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.4

2x + y が、ある値 k を取り得るというのは、 2x + y = k となる x,y が在るということ。 そのような x,y が存在しなければ、 2x + y は、値 k を取り得ない。 これが解れば、質問の問題は、 x~2 + y~2 = 4, 2x + y = k という連立方程式が解を持つような k を求める 問題であると解る。 x,y のどちらか(どちらでもよい)を代入消去して、 未知数が 1 個の方程式に変形すると、 x または y の二次方程式となる。 その方程式に解が在る条件を出せばよいのだから、 判別式の符号を見ることになる。 大切なのは、冒頭 4 行の考え方。

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noname#29493
noname#29493
回答No.2

問題は 実数x,yがx^2+y^2=4を満たしながら変化するとき 2x+yの取り得る値の範囲を求めよ。 ということだよね。 いいかえると、2x＋y=kとしたとき 「実数xがx^2＋(k-2x)^2-4=0を満たすとしたとき kの値の範囲を求めよ。」 と言い換えられるのは分かる？こういうことなんだよ。 そうすると xがx^2＋(k-2x)^2-4=0⇔5x^2-4kx＋k^2-4=0を満たし、 もしも5x^2-4kx＋k^2-4=0において実数解をもたないことを考えると どんな実数xに対しても5x^2-4kx＋k^2-4＞0で5x^2-4kx＋k^2-4≠0 これはxが5x^2-4kx＋k^2-4=0を満たしていることに矛盾するので 実数解をもたなくてはいけないことが分かった。 これでどうだい？

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  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.1

こんばんわ。 まずどういう 2次方程式に対して、その条件が述べられていますか？ いきなり「実数解をもつ」とは言われていないと思います。 それと実数解をもつということは、どこかに「実数である」ことが書かれているはずです。 それを探し出してみてください。

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