方程式の実数解の個数

質問

｜x^2-1｜=x-aを満たす実数xの個数を求めよ。

という問題で、私は次のように考えました。
｜x^2-1｜=x^2-1(x≦-1,x≧1)
-x^2＋1(-1<x<1)

x≦-1,x≧1のとき、x^2-1=x-a
x^2-x-1＋a=0
判別式D=-4a＋5により、a<5/4のとき実数解は2個
　　　　　　　　　　　a=5/4のとき実数解は1個
　　　　　　　　　　　a>5/4のとき実数解は0個

-1<x<1のとき・・・（以下同様に解答)

しかし、解答を見てみると、定数分離をして解かれており、私が上のように解いて出した答えとは違っていました。その解答を見て「ああ、定数分離か」と納得はいくのですが、上のような解答でも間違ってはいないように思えます。どこが間違っているのでしょうか。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>どこが間違っているのでしょうか。
たとえば、
x≦-1,x≧1のとき
判別式D=-4a＋5＞0, =0, ＜0で分類するだけでは
実数解の必要条件だけしか考えていないことになります。
存在する実数解が場合の条件「x≦-1,x≧1のとき」を満たしていないなら
実数解の解としてカウントできません。
実際に
a=5/4としてみるとx=1/2(重解)で場合の条件を満たしていないので実数解の個数を0個にカウントしないといけないですね。

a>5/4のときは、実数解の個数が0個なので場合の条件を考えても0個です。

a<5/4のときか、実数解の個数が2個でも、場合の条件を考えると
1<a<5/4のとき2つの実数解とも場合の条件を満たさず0個となる。
-1<a≦1のとき実数解の1個だけ場合の条件を満たすので1個となる。
a≦-1のとき2つの実数解とも場合の条件を満たすので2個になります。

もっと全体を見通して正しい解に到達するには、グラフを描いて解くのが一番いいと思います。

|x^2-1|-x= -a
とおいて
y=|x^2-1|-x
と
y=-a
のグラフの交点数（＝実数解の個数）を調べれば
間違いなく簡単に
aと実数解の個数の関係が求められますね。
aを変化させると
添付図のようにy=-aの直線が上下して
y=|x^2-1|-x との交点の個数（実数解の個数）が0～4個と変化する
ことが分かりますね。

お礼

疑問が解けました。有難うございました。

回答No.1

rnakamra

判別式D>0であっても、その2次方程式の解が最初に決めたxの変域に入っていないことがあるからです。
たとえば、x≦-1,1≦xの時、a=1であるとすると(このとき判別式D>0)、2次方程式は
x^2-1=x-1→x^2-x=x(x-1)=0→x=0,1
となる。しかしx=0はx≦-1,1≦xの範囲に入らないため解にはなりません。
しかも、これではa=1の時、x≦-1,1≦xの範囲に1個解があることはわかりますが、実際には-1<x<1の範囲にも解がある可能性があるためそれを数えていないので問題です。

お礼

疑問がなくなり、すっきりしました。有難うございました！