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微分 実数解の個数
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f(x) = a に、x=αを代入したら、f(α) = a が成り立った、このとき、x=αを、方程式・f(x) = a の解といいます。 y = f(x), y = a の共有点の座標は、この２つを連立方程式とみて解けば出てきます。 一応、念のために書いておけば、 y = f(x) のグラフとは、その方程式が成り立つような(x,y)の組を、点の座標とみて、そういう点を集めたものなので、 点(β,γ)のx座標・y座標を、この２つの方程式に代入したら、γ = f(β)、γ = a が成り立ったときには、 (β,γ)は、y = f(x)上の点でもあり、y = a 上の点でもある、つまり、y = f(x), y=aの共有点だということであり、 同時に、２つの方程式を同時に満たす(x,y)の組でもあるので、連立方程式の解であるからです。 で、実際に解くときは、代入法で、f(x) = a を出して、xについての方程式を解いて、そのxの値を、yに代入してy座標を求めます。(この場合には、片方の方程式が、y=aなので、このプロセス不要ですが、原理としてはそういうこと) で、この先に解く、xについての方程式が、元の方程式そのものなので、元の方程式と、２つのグラフの共有点のx座標は一致する。 で、共有点の個数＝実数解(虚数解は、グラフ上に現れないから)の個数、と言ってもいいのですが、一つ注意点が… 例えば、円・x^2+y^2 = 4 と 直線 x = 1 の共有点の個数は、２個ですが、２つの式を同時に満たすx座標は、x=1、一つです。 y=f(x)の形のときは、関数の定義から、１つのxの値に対して、yの値は１つに決まるので、共有点のx座標の数＝実数解の個数になり、多項式の微分の応用問題のように、それが保証されているときは、問題ないのですが、円のグラフ(xの値に対してyの値が大抵２個)や、x=1(ｙの値は無限に)などについて考えるときは、そうはいかないこともあるので、そこが注意点です。
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