行列を行列で微分することはできるのか？

質問

行列を１変数で微分することや１変数を行列で微分することは可能ですが行列を行列で微分することは可能なのでしょうか？
たとえばA微分可能な行列として
d(A^-1)/dA = -(A^1)^2

というような計算はありえるでしょうか？
以上よろしくお願いします．

回答No.4

alice_44

森毅の「ベクトル解析」なら、
安価で、内容も平易かなあ。

n 次正方行列が行列であることを放棄して、
単なる n~2 次元ベクトルと見てしまえば、
その意味で普通に微分することはできます。

そのとき出てくる偏微分係数は、
∂Fij/∂Aij だけではなく、
∂Fij/∂Akh という n~4 個になる。
これを、n~2 次正方行列の形に並べて
dF = (∂F/∂A) dA と書くこともできるけれど、
右辺の dA は、n 行 n 例ではなく、
n~2 行 1 例の行列と見なしたことになります。

回答No.3

kabaokaba

世の中新しいものを定めるのは大変なことで・・・

n x m 行列の集合をノルム空間とみなすことで
微分は定義されてたりします．
Fr\'eche微分ってのを調べてみてください．
一般にノルム空間からノルム空間への写像に対して
定義されます．

書籍としては，
Spivakの「多変数の解析学」
が秀逸かと（200pもない薄い本だけども，易しい本ではない）．

ただし，この場合「行列の集合」の代数的な側面は
ぶっちゃけた話，無視されるといえますし，
一変数のときのようにはなりません
＃Fr\'eche微分は「全微分」の拡張というほうが正しい
だから計算規則はそれなりに違うところがあります．

ちなみに
単純に関数が行列の成分で
各成分ごとに微分するというのであれば
普通に使われてます．

まあ，どういうのをもって「行列の微分」といってるのか
定義が明確にならないとお話しは先に進みません．
ちなみに
具体的な演算の仕方だけが定義ではないわけど
目的とする演算にどのような性質があってほしいのか
という性質を列挙することでとりあえず定義して，
そのような演算が実際に存在しうることを示すってのも
演算の定義の常套手段です．

今回の場合，X=M(n,m)をn x m行列全体の集合として
線型写像D:X->Xで以下のような性質を持つものを考える
D(AB)=AD(B)+D(A)B
D(A^n)=nA^{n-1} (nは2以上の自然数)
D(A)=E
D(E)=0
D((A^{-1})^n) = -n(A^{-1})^(n+1) (1は2以上の自然数)

さて。。。こんな線型写像は存在するんでしょうか
それは考えてないので分かりません(^-^;
一意に存在すれば，それを「微分」なんて名前にしても
悪くはないかもしれません．

回答No.2

tsukita

こんばんは。
行列の微分とは、面白い発想ですね。
このような理論があるのでしょうか？
もしないのであれば、新しい理論として意味を成すといいですね。

ですが、定義がよくわかりません。

＞また，行列Aによる微分というのは
d/dA = (d/dA_ij)ijのように定義するものとする場合ですとどうなるでしょうか？

例として、２次の正方行列で具体例を示してください。

回答No.1

spring135

行列Aによる微分という演算を明確にする必要があります。チャンと定義してください。

お礼

あいまいな質問で申し訳ありませんでした．

行列Aは何でもよいのですがたとえばn*nの正則な行列だとして，
これがn=1のときに成立するのは明らかですがn>=2の場合などはどうなるのでしょうか？

また，行列Aによる微分というのは
d/dA = (d/dA_ij)ijのように定義するものとする場合ですとどうなるでしょうか？