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行列を行列で微分することはできるのか？
kabaokabaの回答
- kabaokaba
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世の中新しいものを定めるのは大変なことで・・・ n x m 行列の集合をノルム空間とみなすことで 微分は定義されてたりします． Fr\'eche微分ってのを調べてみてください． 一般にノルム空間からノルム空間への写像に対して 定義されます． 書籍としては， Spivakの「多変数の解析学」 が秀逸かと（200pもない薄い本だけども，易しい本ではない）． ただし，この場合「行列の集合」の代数的な側面は ぶっちゃけた話，無視されるといえますし， 一変数のときのようにはなりません ＃Fr\'eche微分は「全微分」の拡張というほうが正しい だから計算規則はそれなりに違うところがあります． ちなみに 単純に関数が行列の成分で 各成分ごとに微分するというのであれば 普通に使われてます． まあ，どういうのをもって「行列の微分」といってるのか 定義が明確にならないとお話しは先に進みません． ちなみに 具体的な演算の仕方だけが定義ではないわけど 目的とする演算にどのような性質があってほしいのか という性質を列挙することでとりあえず定義して， そのような演算が実際に存在しうることを示すってのも 演算の定義の常套手段です． 今回の場合，X=M(n,m)をn x m行列全体の集合として 線型写像D:X->Xで以下のような性質を持つものを考える D(AB)=AD(B)+D(A)B D(A^n)=nA^{n-1} (nは2以上の自然数) D(A)=E D(E)=0 D((A^{-1})^n) = -n(A^{-1})^(n+1) (1は2以上の自然数) さて。。。こんな線型写像は存在するんでしょうか それは考えてないので分かりません(^-^; 一意に存在すれば，それを「微分」なんて名前にしても 悪くはないかもしれません．
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